Обработка экспериментальных данных и построение эмпирических формул. Курс лекций. Шашков В.Б. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

84
17 Лекция 17. Эмпирические формулы для нелинейной
парной связи, получаемые методом линеаризации исходных
уравнений
17.1 Линеаризация и построение функциональных шкал
Известные МНК-оценки для коэффициентов линейной регрессии (52) и
(53)
n
n
g
xb
g
y
b
∑
=
∑
⋅−
=
1
1
0
и
∑∑
−⋅
∑
=
∑∑
⋅−⋅
=
2
)(
2
1
1
xxn
n
g
g
yx
g
yxn
b
могут быть использованы и для построения уравнений нелинейной парной
регрессии. Для этого искомую нелинейную зависимость нужно привести к
линейному виду (если это возможно). Такие преобразования называются ме -
тодом выравнивания или методом линеаризации функций.
Рассмотрим, например, нелинейную зависимость вида
f(y)=b
0
+b
1
⋅ϕ
(x), (73)
где b
0
и b
1
-постоянные,
f(y) и
ϕ
(x)-строго монотонные функции.
На плоскости 0
ху функция (73) изображается некоторой кривой. Вве-
дем новые переменные
Х=
ϕ
(x) и У= f(y), которые преобразуют зависи-
мость (73) в уравнение
У=b
0
+b
1
⋅
Х, (74)
в силу чего точки графика
N
i
(X
i
,Y
i
) на новой координатной плоскости 0ХУ
будут располагаться на прямой линии. Справедливо и обратное положение:
если при построении на плоскости
0ХУ обнаружится, что точки N
i
практи-
чески лежат на прямой линии, то между переменными
х и у имеет место не-
линейная зависимость (73).
Построение линеаризующих координатных плоскостей
0ХУ проводят
с использованием так называемых
функциональных шкал.
Принципы построения функциональных шкал рассмотрим на конкрет-
ном примере. Проследим изменение нелинейной функции
у=х
2
на отрезке
[1,2]. Разобьем отрезок на десять частей и вычислим значение функции во
всех точках деления. Соответствующие данные представлены в таблице 11. 
    17 Лекция 17. Эмпирические формулы для нелинейной
парной связи, получаемые методом линеаризации исходных
уравнений

        17.1 Линеаризация и построение функциональных шкал

        Известные МНК-оценки для коэффициентов линейной регрессии (52) и
(53)
             n                                n
             ∑ y g − b1 ⋅∑ x                n ∑ x ⋅ y − ∑ x ⋅∑ y
                                                     g           g
            g =1                             g =1
        b =                         и   b =
         0                               1
                  n                            n⋅∑ x 2 − (∑ x) 2
могут быть использованы и для построения уравнений нелинейной парной
регрессии. Для этого искомую нелинейную зависимость нужно привести к
линейному виду (если это возможно). Такие преобразования называются ме -
тодом выравнивания или методом линеаризации функций.
      Рассмотрим, например, нелинейную зависимость вида
                          f(y)=b0+b1⋅ϕ(x),                            (73)
         где b0 и b1 -постоянные,
            f(y) и ϕ(x)-строго монотонные функции.
         На плоскости 0ху функция (73) изображается некоторой кривой. Вве-
дем    новые переменные Х=ϕ(x) и У= f(y), которые преобразуют зависи-
мость (73) в уравнение
                         У=b0+b1⋅Х,                                 (74)
в силу чего точки графика Ni(Xi,Yi) на новой координатной плоскости 0ХУ
будут располагаться на прямой линии. Справедливо и обратное положение:
если при построении на плоскости 0ХУ обнаружится, что точки Ni практи-
чески лежат на прямой линии, то между переменными х и у имеет место не-
линейная зависимость (73).
       Построение линеаризующих координатных плоскостей 0ХУ проводят
с использованием так называемых функциональных шкал.
       Принципы построения функциональных шкал рассмотрим на конкрет-
ном примере. Проследим изменение нелинейной функции у=х2 на отрезке
[1,2]. Разобьем отрезок на десять частей и вычислим значение функции во
всех точках деления. Соответствующие данные представлены в таблице 11.




84

Страницы