Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия. Шашков В.Б. - 25 стр.

случайных величин). Рассмотрим эти характеристики величины                  b.
     Для отдельного коэффициента регрессии можно записать

                    σ 2 = M {(b j − Mb j )×(b j − Mb j )}.                           (18)
      В силу равенства (16) следует

                    σ 2 = M {(b j − β j )×(b j − β j )},                            (19)
а для второго смешанного центрального момента
                    µ11{b j bk }= M {(b j − β j )×(bk − β k )} .                     (20)
      Поскольку каждый коэффициент регрессии есть случайная величина,
постольку мы имеем дело с векторами b1 , b2 , b3 ,...., b12 ,..., b123 ,... , т.е. об –
щий вектор   b будет иметь вид
                        b = (b0 , b1, b3 ,..., b12 ,..., bk )
(к+1) –мерного вектора. Дисперсия такого вектора будет характеризоваться
дисперсионной матрицей размером (к+1)×(к+1). Обозначим эту матрицу
       {}
как D b , где D - символ дисперсии. Тогда по аналогии с уравнением (18),
справедливого для одного коэффициента, для всего вектора коэффициентов


                           { } {( ) ( ) }
будем иметь
                                                       T
                        D b = M b− β × b− β                     .                    (21)


     Таким образом, уравнения (18), (19) и (20) относятся к отдельным еди-
ничным коэффициентам регрессии, а уравнение (21) – ко всем вместе.
      В работе /4/ показано, что статистические оценки              b   на множестве всех
                                              ≈
других линейных несмещенных оценок            b   обладает наименьшей дисперсион-
                                                                    ≈
ной матрицей, т.е. всегда справедливо, что D{b} ≤ D{b} , а это есть условие
эффективности оценок. Таким образом, возвращаясь к предыдущему разделу,

можем констатировать, что коэффициенты регрессии b являются состоятел-
ьными, несмещенными и эффективными оценками истинных коэффициентов
регрессии β .
      Уравнение (21) после перемножения векторов расписывается в диспер-
сионную корреляционную матрицу, на главной диагонали которой находятся
дисперсии коэффициентов регрессии, а остальные элементы матрицы суть
парные корреляционные моменты коэффициентов (заполнены не все элемен-
ты матрицы).

                                                                                       25