Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия. Шашков В.Б. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

27
)(),...,(),(}){(
2211 nn
T
g
MyyMyyMyyyMy −−−=−
,
}){(
g
yMy − будет аналогичным вектором-столбцом. Обозначим этот век-
тор как
ϖ
и рассмотрим произведение в выражении М{
ϖ×ϖ
T
}. Оно будет
матрицей, элементы которой будут состоять из произведений типа
(y
1
-M{y
1
})
2
и (y
1
-M{y
1
})
∗
(y
2
-M{y
2
}). Но мы имеем не просто произведения,
а произведения под символом математического ожидания, например,
М{(y
1
-M{y
1
})(y
2
-M{y
2
})}.
Поэтому эти произведения есть либо дисперсия массива величины
y
1
на пер-
вой (или вообще на
g- строке), т. е. дисперсия воспроизводимости, либо
второй смешанный центральный момент величин
y
1
и y
2
(или вообще вели-
чин
y
k
и
y
q
). Значения дисперсий будут располагаться на главной диагонали
матрицы, а остальные элементы матрицы будут заполнены моментами
{
}
ji
bb
11
µ
. Таким образом, структура
}}){})({{(
T
g
g
yMyyMyM −−
или
М{
ϖ×ϖ
T
} будет дисперсионной матрицей НАБЛЮДЕНИЙ экспе-
римента.
Согласно условиям процедуры регрессионного анализа, во-
первых, дисперсии воспроизводимости
2
vos
σ
на разных строках таблицы
экспериментальных данных равны, поэтому выносим их за матрицу. Во-
вторых, результаты наблюдений
y
g
на разных строках таблицы независимы, и
поэтому смешанные центральные моменты типа
М{(y
1
-M{y
1
}) (y
2
-M{y
2
})}
будут равны нулю. Таким образом, после вынесения дисперсии
2
vos
σ
за пре-
делы матрицы, последняя превращается в единичную матрицу
Е, и
}}){})({{(
T
g
g
yMyyMyM −− = Е
2
vos
σ
.
Теперь выражение (23) преобретает вид
211
)()(}{
vos
TTT
FFFFFFbD
σ
−−
= .
Первые три множителя являются единичной матрицей, и теперь получаем
22121
)(}{
vosvosvos
T
CMFFbD
σσσ
===
−−
, (24)
где
М
-1
– матрица моментов;
С - обратная матрица. 
      ( y − M { y g })T = ( y1 − My1 ),( y2 − My2 ),...,( yn − Myn )   ,

( y − M { y g })     будет аналогичным вектором-столбцом. Обозначим этот век-

тор как ϖ  и рассмотрим произведение в выражении М{ϖ×ϖ }. Оно будет
                                                                   T

матрицей, элементы которой будут состоять из произведений типа
(y1-M{y1})2 и (y1-M{y1})∗(y2-M{y2}). Но мы имеем не просто произведения,
а произведения под символом математического ожидания, например,

                          М{(y1-M{y1})(y2-M{y2})}.
 Поэтому эти произведения есть либо дисперсия массива величины y1 на пер-
вой (или вообще на g- строке), т. е. дисперсия воспроизводимости, либо
второй смешанный центральный момент величин y1 и y2 (или вообще вели-
чин yk и yq). Значения дисперсий будут располагаться на главной диагонали
матрицы, а остальные элементы матрицы будут заполнены моментами
    { }
µ11 bi b j . Таким образом, структура
                       M {( y − M { y g })( y − M { yg })T }
или М{ϖ×ϖ } будет дисперсионной матрицей НАБЛЮДЕНИЙ экспе-
                 T

римента. Согласно условиям процедуры регрессионного анализа, во-
первых, дисперсии воспроизводимости σ vos
                                      2   на разных строках таблицы
экспериментальных данных равны, поэтому выносим их за матрицу. Во-
вторых, результаты наблюдений yg на разных строках таблицы независимы, и
поэтому смешанные центральные моменты типа М{(y1-M{y1}) (y2-M{y2})}
будут равны нулю. Таким образом, после вынесения дисперсии σ vos
                                                               2 за пре-

делы матрицы, последняя превращается в единичную матрицу Е, и

             M {( y − M { y g })( y − M { yg })T } = Еσ vos
                                                        2 .


      Теперь выражение (23) преобретает вид
             D{b} = ( F T F )−1 F T F ( F T F )−1σ vos
                                                   2 .


Первые три множителя являются единичной матрицей, и теперь получаем

             D{b} = ( F T F )−1σ vos
                                 2 = M −1σ 2 = Cσ 2
                                           vos   vos
                                                               ,           (24)
            -1
      где М – матрица моментов;
          С - обратная матрица.

                                                                             27

Страницы