Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия. Шашков В.Б. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

33
Решая ее относительно коэффициентов
b, получаем
xsrbysr
n
xby
b
1
1
0
−=
∑
−
= , (35)
где
ysr и xsr -среднеарифметические по массивам,
и
∑∑
−
∑
∑
∑
−
=
22
1
)( xxn
xyyxn
b
. (36)
Учитывая, что
∑
x=xsr
×
n=
∑
xsr, что справедливо и для "у" и преобра-
зуя (36), получим
∑∑
−
∑
∑
−
=
22
1
xsrx
ysrxsryx
b
. (37)
Несложные преобразования показывают, что знаменатель уравнения
(37) равен
∑
(x- xsr)
2
, а числитель -
∑
(x- xsr)(y-ysr), позтому
xy
xy
ssn
ssn
xsrx
ysryxsrx
b
)1(
)1(
)(
))((
2
1
−
−
×
∑
−
∑
−−
=
,
где
S
y
и
S
x
– среднеквадратичные отклонения.
В последнем уравнении величина
xy
ssn
ysryxsrx
)1(
1
1
))((
−
×
∑
−
−
есть выборочный коэффициент корреляции, поэтому
x
y
xy
x
xy
xy
s
s
r
s
ss
rb ==
2
1
, (38)
т.е. уравнение (34) принимает вид
yx
s
s
rb
x
y
xy
=+
0
. (39)
Учитывая (35), имеем
b
0
+b
1
x=ysr-b
1
xsr+b
1
x=y,
откуда
y-ysr=b
1
(x-xsr). 
     Решая ее относительно коэффициентов b, получаем
                                          y − b1 x
                             b0 = ∑                = ysr − b1xsr ,       (35)
                                           n
     где   ysr   и   xsr   -среднеарифметические по массивам,
                                 n yx − y x
и                            b1 = ∑ 2 ∑ ∑ 2 .                            (36)
                                 n∑ x − (∑ x)

     Учитывая, что ∑x=xsr×n=∑xsr, что справедливо и для "у" и преобра-
                                         yx − ysrxsr
зуя (36), получим                 b1 = ∑ 2 ∑        2
                                                      .                  (37)
                                        ∑ x − ∑ xsr
      Несложные преобразования показывают, что знаменатель уравнения
(37) равен ∑(x- xsr) , а числитель -∑(x- xsr)(y-ysr), позтому
                    2



                           ( x − xsr )( y − ysr ) (n −1)s y s x
                 b1 = ∑                          ×                   ,
                             ∑ ( x − xsr )
                                           2
                                                   (n −1)s y s x
     где Sy и Sx – среднеквадратичные отклонения.
     В последнем уравнении величина

                 ∑ ( x − xsr )( y − ysr ) ×      1
                           1                (n −1)s y s x
есть выборочный коэффициент корреляции, поэтому

                                  s y sx           sy
                       b1 = rxy            = rxy        ,                (38)
                                   s x2            sx
т.е. уравнение (34) принимает вид
                                   sy
                       b0 + rxy           x= y.                          (39)
                                   sx
     Учитывая (35), имеем

                     b0+b1x=ysr-b1xsr+b1x=y,
откуда
                      y-ysr=b1(x-xsr).



                                                                           33

Страницы