Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия. Шашков В.Б. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

34
3.3.2 Соотношение коэффициента корреляции и корреляционного
отношения
Остаточная дисперсия для линейной регрессии имеет вид
S
2
ost
=[1/(n-2)]
∑
(y
g
-b
0
-b
1
x)
2
, тогда с учетом уравнения (35) будем иметь
S
2
ost
=[1/(n-2)]
∑
[y
g
-(ysr-b
1
xsr)-b
1
x]
2
=(1/n-2)
∑
[(y
g
-ysr)-b
1
(x-xsr)]
2
=
=[(1/n-2)]
∑
[(y
g
-ysr)
2
-2b
1
(x-xsr)( y
g
-ysr)+b
1
2
(x-xsr)
2
].
Знак суммы разносим по элементам суммы и тогда
S
2
ost
=[1/(n-2)] [
∑
(y
g
-ysr)
2
-2b
1
∑
(x-xsr)( y
g
-ysr)+b
1
2
∑
(x-xsr)
2
]=
=[1/(n-2)] [S
y
2
(n-1)-2b
1
r
xy
(n-1)S
y
S
x
+b
1
2
(n-1)S
2
x
]=
=[(n-1)/(n-2)] (S
y
2
-2r
2
xy
S
2
y
+r
xy
2
S
2
y
)=[(n-1)/(n-2)]S
y
2
(1-r
xy
).
Итак, для линейного уравнения имеем
)1(
2
1
222
xyyost
rS
n
n
S −
−
−
= . (40)
Поскольку в соответствии с (32)
[
]
)1(
)1(
2
2
−
+−
=
nS
knS
yg
ost
γ
,
совмещаем два последних результата в виде
[]
2
22
)1(
)1()1(
2
1
y
xyy
Sn
knrS
n
n
−
+−−
−
−
=
γ
,
и находим, что
2
1
xy
r−
=
γ
, откуда
γ
−= 1
xy
r . Но в соответствии с (33)
γ
θ
−= 1 , т.е. для линейного уравнения коэффициент корреляции и корре-
ляционное отношение совпадают.
Таким образом, корреляционное отношение охватывает все виды сто-
хастической связи и является ее универсальной характеристикой.
3.4 Построение оценки и доверительной области для математиче-
ской модели объекта исследования
Ранее отмечалось,что для полинома регрессии типа
bbxbxbxxbx b x y
01
1
2
2
12
12
11
1
2
22
2
2
+⋅+⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ =
левая часть алгебраически представляет собой произведение двух векторов: 
     3.3.2 Соотношение коэффициента корреляции и корреляционного
отношения

      Остаточная дисперсия для линейной регрессии имеет вид
 S ost=[1/(n-2)]∑(yg-b0-b1x)2, тогда с учетом уравнения (35) будем иметь
     2

S2ost=[1/(n-2)]∑[yg-(ysr-b1xsr)-b1x]2=(1/n-2)∑[(yg-ysr)-b1(x-xsr)]2=
      =[(1/n-2)]∑[(yg-ysr)2-2b1(x-xsr)( yg-ysr)+b12(x-xsr)2].
           Знак суммы разносим по элементам суммы и тогда
 S   2
                  [∑ (yg-ysr)2-2b1∑ (x-xsr)( yg-ysr)+b12∑ (x-xsr)2]=
         ost=[1/(n-2)]
      =[1/(n-2)] [Sy2(n-1)-2b1rxy(n-1)Sy Sx+b12(n-1)S 2x]=
     =[(n-1)/(n-2)] (Sy2-2r2xyS2y +rxy2S 2y)=[(n-1)/(n-2)]Sy2(1-rxy).

Итак, для линейного уравнения имеем

                               2 =     n −1 2
                              Sost         S y (1− rxy2 ) .                               (40)
                                       n−2
           Поскольку в соответствии с (32)

                                  γ=
                                      2
                                     Sost [n −(k +1)] ,
                                          2
                                       S yg  (n −1)
совмещаем два последних результата в виде

                                 n −1 2
                                      S y (1− rxy2 )[n − (k +1)]
                             γ = n −2                2
                                                                 ,
                                           (n −1)S y

и находим, что γ          = 1 − rxy2 , откуда rxy = 1−γ          . Но в соответствии с (33)

θ = 1−γ   , т.е. для линейного уравнения коэффициент корреляции и корре-
ляционное отношение совпадают.
     Таким образом, корреляционное отношение охватывает все виды сто-
хастической связи и является ее универсальной характеристикой.

     3.4 Построение оценки и доверительной области для математиче-
ской модели объекта исследования

           Ранее отмечалось,что для полинома регрессии типа
          b0 + b1 ⋅ x 1 + b2 ⋅ x 2 + b12 ⋅ x 1 ⋅ x 2 + b11 ⋅ x 12 + b22 ⋅ x 2 2 = y
левая часть алгебраически представляет собой произведение двух векторов:

34

Страницы