Электростатика. Шашкова Л.В - 19 стр.

      Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.
Из формулы видно, что поток ФЕ через сферическую поверхность не зависит
от радиуса сферы r и одинаков для сферы S и любой другой концентрической
с нею сферы S1, т.к. каждая линия напряженности, пронизывающая S, прой-
дет и сквозь S1.
      Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и
включает в себя точечный заряд q, поток вектора Е будет равен q/ε0, т.е.

                                                        q
                           Ф Е = ∫ E dS = ∫ E n dS =                                (1)
                                  S         S
                                                        ε0

      Знак потока совпадает со знаком заряда. Из формулы видно, что поток
не зависит от расположения заряда внутри поверхности. Это значит, что
полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для ка-
кого угодно числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри
поверхности.
      Рассмотрим общий случай произвольно расположенной поверхности,
окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напря-
женность поля Е , создаваемого всеми зарядами равна сумме напряженно-
                                                                  n
стей Е i, создаваемых каждым зарядом в отдельности: E = ∑ E i . Поэтому:
                                                                 i =1


                                      n              n
                                                                   1 n
                  Ф Е = ∫ E d S = ∫  ∑ E i d S = ∑ ∫ E i d S = ∑ q i
                        S         S  i =1          i =1 S       ε 0 i=1

     Согласно (1), каждый из интервалов, стоящих под знаком             ∑   равен
qi
   . Следовательно
ε0
                                                         n
                                                   1
                       Ф Е = ∫ E dS = ∫ E n dS =
                              S         S          ε0
                                                        ∑ qi                        (2)
                                                        i =1


       Формула (2) выражает теорему Остроградского-Гаусса: поток вектора
напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгеб-
раической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной
на ε0.


     1.4 Примеры вычисления электрического поля с помощью
теоремы Остроградского-Гаусса.

                                                                                    19