Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

195
с целыми коэффициентами, счётно;
г) множество алгебраических
1
чисел счётно.
Пример. Пусть элементы множества А определяются n
знаками, каждый из которых, независимо от других, пробегает
счётное множество значений
А={а
х
1
,
х
2
,…,
х
n
} (х
k
=x
)1(
k
, x
)2(
k
, …; k=1, 2, 3, …, n),
Показать, что множество А в этом случае - счётно.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Используем метод математической индукции.
1. Предложение очевидно, если n=1, то есть имеется
только один знак.
2. Допустим, что теорема справедлива для n=m.
3. Покажем, что она справедлива для n=m+1.
Пусть А={а
х
1
,
х
2
,…,
х
m
,
х
1m
}.
Обозначим через А
i
множество тех элементов А, для ко-
торых
х
m+ 1
= х
)(
1
i
m
,
где х
)(
1
i
m
одно из возможных значений (m+1)-го знака, то
есть положим, что
А
i
={а
х
1
,
х
2
,…,
х
m
,
х
)(
1
i
m
}.
В силу сделанного предположения - множество А
i
-
счётно, а так как
А=
1i
i
A
,
то счётно и А.
№2. Доказать следующие предложения:
(а) множество всех действительных чисел является мно-
жеством континуума;
(б) множество всех иррациональных чисел является
множеством континуума;
(в) существуют трансцендентные (неалгебраические)
числа.;
(г) множество Т всех последовательностей вида: 
        с целыми коэффициентами, счётно;
        г) множество алгебраических1 чисел счётно.

       Пример. Пусть элементы множества А определяются n
знаками, каждый из которых, независимо от других, пробегает
счётное множество значений
       А={ах 1 , х 2 ,…,х n } (хk=x (k1) , x (k2 ) , …; k=1, 2, 3, …, n),
       Показать, что множество А в этом случае - счётно.
       Доказательство
       Используем метод математической индукции.
       1. Предложение очевидно, если n=1, то есть имеется
только один знак.
       2. Допустим, что теорема справедлива для n=m.
       3. Покажем, что она справедлива для n=m+1.
        Пусть     А={ах 1 , х 2 ,…,х m , х m 1 }.
        Обозначим через Аi множество тех элементов А, для ко-
торых
                                  хm+ 1 = х (m
                                              i)
                                                 1,

       где х (m
               i)
                  1 одно из возможных значений (m+1)-го знака, то
есть положим, что
                           Аi={ах 1 , х 2 ,…,х m , х (m
                                                       i)
                                                          1
                                                            }.
       В силу сделанного предположения - множество Аi -
счётно, а так как
                                         
                                   А=   A ,
                                        i 1
                                               i

        то счётно и А.

        №2. Доказать следующие предложения:
        (а) множество всех действительных чисел является мно-
жеством континуума;
        (б) множество всех иррациональных чисел является
множеством континуума;
        (в) существуют трансцендентные (неалгебраические)
числа.;
        (г) множество Т всех последовательностей вида:
                                       195

Страницы