Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

196
(а
1
, а
2
, а
3
, …),
где а
k
, независимо друг от друга, принимают значения 0 и 1, яв-
ляется множеством континуума.
Пример. Доказать, что множество Q всех последова-
тельностей натуральных чисел Q={(n
1
, n
2
, n
3
, …)}является мно-
жеством континуума.
Д о к а з а т е л ь с т в о
В доказательстве используем свойства двоичных дро-
бей
2
. Для определенности договоримся не пользоваться дробя-
ми, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из
полуинтервала [0, 1) будет иметь единственное представление в
форме:
0, а
1
а
2
а
3
… , причём какое бы число N ни взять, най-
дутся такие а
k
, что а
k
= 0, k > N.
Обратно, любой дроби 0, а
1
а
2
а
3
… с этим свойством от-
вечает точка из [0, 1). Но задать дробь 0, а
1
а
2
а
3
…можно, указав
те k, для которых а
k
=0.
Эти k образуют возрастающую последовательность на-
туральных чисел k
1
< k
2
< k
3
< … и каждой такой последова-
тельности отвечает дробь 0, а
1
а
2
а
3
…. Значит, множество Н по-
следовательностей
k
является множеством континуума. Но
между множествами H и Q можно установить взаимноодно-
значное соответствие. Для этого достаточно соотнести последо-
вательности
k
последовательность: (п
1
, п
2
, п
3
, …) из Q, для
которой
п
1
= k
1
, n
2
= k
2
– k
1
, n
3
= k
3
– k
2
, …
Предложение доказано.
№3. Доказать следующие предложения:
(а) множество всех точек плоскости является множест-
вом континуума;
(б) множество всех точек трёхмерного пространства яв-
ляется множеством континуума;
(в) множество всех точек четырехмерного пространства
является множеством континуума;
(г) объединение континуума попарно не пересекающих-
ся множеств является множеством континуума. 
                             (а1, а2, а3, …),
где аk, независимо друг от друга, принимают значения 0 и 1, яв-
ляется множеством континуума.

        Пример. Доказать, что множество Q всех последова-
тельностей натуральных чисел Q={(n1, n2, n3, …)}является мно-
жеством континуума.
        Доказательство
        В доказательстве используем свойства двоичных дро-
бей . Для определенности договоримся не пользоваться дробя-
    2

ми, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из
полуинтервала [0, 1) будет иметь единственное представление в
форме:
        0, а1а2а3 … , причём какое бы число N ни взять, най-
дутся такие аk, что аk = 0, k > N.
        Обратно, любой дроби 0, а1а2а3 … с этим свойством от-
вечает точка из [0, 1). Но задать дробь 0, а1а2а3 …можно, указав
те k, для которых аk=0.
        Эти k образуют возрастающую последовательность на-
туральных чисел k1 < k2 < k3 < … и каждой такой последова-
тельности отвечает дробь 0, а1а2а3 …. Значит, множество Н по-
следовательностей k  является множеством континуума. Но
между множествами H и Q можно установить взаимноодно-
значное соответствие. Для этого достаточно соотнести последо-
вательности k  последовательность: (п1, п2, п3, …) из Q, для
которой
                    п1 = k1, n2 = k2 – k1, n3 = k3 – k2, …
        Предложение доказано.
        №3. Доказать следующие предложения:
        (а) множество всех точек плоскости является множест-
вом континуума;
        (б) множество всех точек трёхмерного пространства яв-
ляется множеством континуума;
        (в) множество всех точек четырехмерного пространства
является множеством континуума;
        (г) объединение континуума попарно не пересекающих-
ся множеств является множеством континуума.

                                 196

Страницы