Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 199 стр.

                                            
        задача № 5(а); затем [ а; в) на 0;    с помощью линей-
                                            2
                          
ной функции; наконец, 0;    на [0; + ∞) с помощью функции
                          2
        y=tg x.
        № 7. Решение: отображаем окружность на полуинтер-
вал [0;2 ), ставим в соответствие каждой точке окружности
численное значение угла, составленного радиус-вектором этой
точки с некоторым фиксированным радиусом. Затем полуин-
тервал [0;2 ) линейным преобразованием отображаем на полу-
сегмент [0;1); наконец, последний полуинтервал отображаем на
[0; 1] методом, рассмотренным в задаче № 5(а).
        № 9. Решение: отображение производится с помощью
так называемой «стереографической проекции». Обозначим
через P 0 выколотую точку на сфере, а через М 0 - диаметрально
противоположную точку на сфере. Построим плоскость, ка-
сающуюся сферы в точке М 0 . Далее проведем прямую через

точку P 0 и произвольную точку М на сфере. Точку N, в кото-
рой эта прямая пересечет плоскость, ставим в соответствие точ-
ке М. Это соответствие между точками М на сфере и точками N
на плоскости является взаимно однозначным.
              № 10.          Решение: отобразим сначала всю поверхность
сферы на поверхность сферы с «выколотой точкой». Затем сфе-
ру с «выколотой» точкой отображаем на плоскость с помощью
стереографической поверхности.
              № 11. Решение: выделим в множестве I иррациональ-
ных чисел какую-либо последовательность, например
   2 ,2 2 ,3 2 ,..., n 2 ,...; обозначим через R множество всех дей-
ствительных чисел; множество всех рациональных точек обо-
значим через Q (а сами рациональные числа занумеруем:
r1 ; r2 ; r3 ;...; rn ;... ); множество всех чисел вида n 2 обозначим
через А; множество всех иррациональных чисел, не представи-
мых в виде n 2 (n>0, целое), обозначим через С. Тогда

                                     200