Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 201 стр.

ресекал ножку буквы Т, а отрезки MP и NP пересекали боковые
отростки этой буквы. Тогда одной и той же тройке рациональ-
ных точек M, N, P может соответствовать не более одной буквы
Т (легко доказать, что если бы этой тройке соответствовали две
различные буквы Т, то они бы пересекались). Итак, между за-
данным множеством букв Т и некоторым множеством троек
рациональных точек на плоскости установлено взаимно одно-
значное соответствие. Так как множество таких троек не более
чем счетно, то и множество попарно не пересекающихся букв Т
также не более чем счетно.
       № 21. Такое множество может иметь любую мощность,
меньшую или равную мощности континуума. Решение: постро-
им произвольное множество Е на прямой у   х и через каж-
дую точку этого множества проведем букву Г (приняв эту точку
за вершину угла буквы Г и направив отрезки буквы Г парал-
лельно осям координат). Все построенные буквы будут попарно
не пересекающимися, и множество этих букв имеет мощность,
равную мощности множества Е.
       № 22. г) Указание: возьмите в круге множество, экви-
валентное всей плоскости, и воспользуйтесь теоремой о мощно-
сти промежуточного множества.
       з) Не более чем счетно.    Решение: на каждом отрезке
можно взять рациональное число.
       № 23.       в) Мощности континуума. Указание: введите
какой-нибудь способ упорядочения вершин треугольника и оп-
ределите инъекцию М  R , затем отыщите в М подмножество
                          6

мощности континуума.
       г) мощности континуума;
       д) мощности континуума.
       № 57. Указанная функция нормы не задает. Решение:
если бы эта функция определяла норму на прямой, то в силу
второй аксиомы нормы для любых действительных чисел  и
х выполнялось бы соотношение: arctg (x )    arctg ( x )

       Положив в нем      = 1 , x  3 получаем:    ,
                             3                   6    3
что неверно.

                                202