Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

204
Рассмотрим последовательность образов:
).1()(
nn
yyF
Так как в метрике R
)1()1()()())(),(( yyyFyFyFyF
nnn
и
)1()1( yy
n
)()(max
10
xyxy
n
x
).;(
,
уy
n
Очевидно, что
0))(),((lim
yFyF
n
n
, то есть
)()(lim yFyF
n
n
.
Следовательно, F непрерывно в любой точке простран-
ства
];[ bаC
, то есть непрерывно на всем пространстве.
№ 81. Функция
задаёт не-
прерывное отображение
3
2
R
в
R
. Множество
D
являются пол-
ным прообразом открытого луча
;1
при этом отображении,
а потому, в силу свойств непрерывности отображений оно от-
крыто.
№ 82. Образ открытого множества при непрерывном
отображении не обязательно открыт. Например, при непрерыв-
ном отображении
xx sin
интервал
;
переходит в от-
резок
1;1
.
№ 83. (а,в) – неподвижных точек нет; б) 0;
3
2
; г)
1.
№ 84. а) (1;1), б)
)21
2
;2
2
( nn
,
.Zn
№ 85. а)
xx
ececy
2
2
1
,
constcc
21
,
;
б)
)3sin3cos(
321
2
1
xcxceecy
x
x
,
constccc
321
,,
.
№ 86. а)
2
41
2
1
2
1
xy
; б)
33
x
ey
; в) нет. 
        Рассмотрим                  последовательность                  образов:
F ( y n )  y n (1). Так как в метрике R
          ( F ( y n ), F ( y))  F ( y n )  F ( y)  y n (1)  y(1)
        и
          y n (1)  y(1)  max     y n ( x)  y( x)   ( y ; у).
                           0 x 1                         n,

        Очевидно,          что     lim  ( F ( yn ), F ( y ))  0 ,   то      есть
                                   n

lim F ( y n )  F ( y)
n               .
        Следовательно, F непрерывно в любой точке простран-
ства C[а; b] , то есть непрерывно на всем пространстве.
      № 81. Функция u  2 x  y  3x  4 y  5z задаёт не-
                            2    2             3


прерывное отображение R23 в R . Множество D являются пол-
ным прообразом открытого луча 1; при этом отображении,
а потому, в силу свойств непрерывности отображений оно от-
крыто.
       № 82. Образ открытого множества при непрерывном
отображении не обязательно открыт. Например, при непрерыв-
ном отображении x  sin x интервал   ;   переходит в от-
резок  1;1 .
                                                                           2
        № 83.      (а,в) – неподвижных точек нет;               б) 0;       ; г)
                                                                           3
1.
                                                 
        № 84. а) (1;1), б) (              2n;        1  2n ) , n  Z .
                                      2            2
        № 85. а) y  c1e
                         2x
                                    c2 e x , c1 , c2  const ;
                           1
        б) y  c1e x  e 2 (c2 cos 3x  c3 sin 3x ) ,
                               x


c1 , c2 , c3  const
                       .
                               1 1
        № 86. а) y               1  4 x 2 ; б) y  3e x  3 ; в) нет.
                               2 2

                                           204

Страницы