Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

205
№87.
4
3
.
№ 88. Несжимающее.
№ 89. Сжимающее.
№ 90. Несжимающее.
№ 91. а) Несжимающее, б) сжимающее.
№ 92. а, в) Сжимающее, б) несжимающее.
№ 93. а) Сжимающее, б) несжимающее.
№ 94. а) Да, является. Решение: поскольку
;
3
1
max);(
3
1
3
1
n
n
x
n
xyy
0
3
1
lim);(lim
n
n
n
n
yy
, то дан-
ная последовательность сходится в пространстве
]
3
1
;
3
1
[C
к
у=0, а всякая сходящаяся последовательность является фунда-
ментальной.
б) Не является фундаментальной. Решение: рассмот-
рим члены данной последовательности y
n
и
y
2n
, для которых
имеем:
nnnn
x
nn
xxxxyy
2
00
2
10
2
)(max);(
, где
]1;0[
0
x
.
Нетрудно заметить, что в промежутке
]1;0[
существует такое
значение
n
x
2
1
0
, для которого
. То есть
0);(lim
2
nn
n
yy
, следовательно, данная последовательность
не является фундаментальной.
№ 95. а) Да. б) Нет.
№ 96. Нет.
№ 97. Да, является. Решение: рассмотрим последова-
тельность
k
n
натуральных чисел заданного пространства. Если
все члены ее, начиная с некоторого номера, совпадают
, то
Kmknnnn
mk
,0,,
и эта по-
следовательность является фундаментальной. 
                       3
         №87.            .
                       4
         № 88.         Несжимающее.
         № 89.         Сжимающее.
         № 90.         Несжимающее.
         № 91.         а) Несжимающее, б) сжимающее.
         № 92.         а, в) Сжимающее, б) несжимающее.
         № 93.         а) Сжимающее, б) несжимающее.
         № 94.                а) Да, является.  Решение: поскольку
                                 1            1
 ( yn ; y )  max x n             ;      lim  ( yn ; y )  lim
                                                 0 , то дан-
              13  x  13  n  3n      n 3n

                                                    1 1
ная последовательность сходится в пространстве C[ ; ] к
                                                    3 3
у=0, а всякая сходящаяся последовательность является фунда-
ментальной.
       б) Не является фундаментальной. Решение: рассмот-
рим члены данной последовательности yn и y2n , для которых
имеем:      ( yn ; y2n )  max ( x n  x 2n )  x0n  x02n , где x0  [0;1] .
                                 0 x 1
Нетрудно заметить, что в промежутке [0;1] существует такое
                      1                                     1
значение     x0          , для которого  ( y n ; y 2 n )  . То есть
                             n
                       2                                    4
lim  ( yn ; y2 n )  0 , следовательно, данная последовательность
n
не является фундаментальной.
       № 95. а) Да. б) Нет.
       № 96. Нет.
       № 97. Да, является. Решение: рассмотрим последова-
тельность nk натуральных чисел заданного пространства. Если
все члены ее, начиная с некоторого номера, совпадают
nk  n; k  K  , то  nk , nm    n, n   0 k , m  K  и эта по-
следовательность является фундаментальной.




                                               205

Страницы