Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 206 стр.

       № 99. Внешняя мера множества не может быть отрица-
тельной m* E  0; по условию m* E  0; откуда следует, что
m* E  0 .
       № 100. Да, m E  0 . Решение: пусть множество Е со-
стоит из n точек. Построив окрестности каждой точки длиной

   , получим совокупность интервалов, покрывающих множест-
 n
во Е общей длиной  , где  -сколь угодно мало. Следовательно,
внешняя мера m E  0 . Внутренняя мера m* E  m* E  0 не
                 *


может быть отрицательной; значит, и внутренняя мера в этом
случае равна нулю m* E  0 , а, следовательно, и мера множества
Е, состоящего из конечного числа n точек, равна нулю.
        № 101. а), б), в), г) m E  0 . Решение (г): пронумеру-
ем точки множества Е . Выберем число  . Построим окрест-
                                        
ность длиной     для первой точки, длиной - для второй,…,
               2                         4
         
длиной      -для n-ой и так далее. Объединение всех этих окре-
         2n
стностей включает в себя данное множество Е. Суммарная дли-
на окрестностей не больше, чем  . Поэтому m* E  0 . Следова-
тельно, и m* E  0 , откуда m E  0 .
       № 102. m E  1 . Решение: множество иррациональных
точек отрезка [0; 1] измеримо, так как его дополнение – множе-
ство рациональных точек отрезка [0; 1] измеримо, и равно нулю.
Согласно свойству 2 меры Лебега точечного множества, имеем
mE  m  mC (E ) , откуда получим: mE  1  0  1
       № 103. Да. Решение: канторово множество, как мно-
жество замкнутое, измеримо. Его мера равна нулю.
       № 104. Да и его мера равна нулю, так как это множест-
во замкнутое.
       № 105. Да и его мера равна нулю, так как это множест-
во замкнутое.


                                 207