Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

208
№ 106. а) 1; б) n, если n-фиксированное число; мера
не существует, если n
; в) 0, если n. Решение: согласно
свойству (меры Лебега) 5, имеем:
0
2
1
limlim
n
n
n
n
mEmE
.
№ 107.
45
38
. Решение: объединение всех интервалов-
открытое множество:
20
1
1;
20
1
9
8
20
1
9
7
;
20
1
3
2
20
1
3
1
;
20
1
9
2
20
1
9
1
;
20
1
. Его мера равна:
45
38
9
1
10
1
4
.
№ 108. Замыкание множества меры нуль не обязано
иметь меру нуль. Решение: приведем пример, когда замыкание
множества не имеет меру нуль: пусть Е –множество рациональ-
ных чисел на отрезке
[0; 1] , тогда
0mE
,
1)(
EmC
.
№ 109. Нет, не может. Решение: если множество Е со-
держит внутреннюю точку х
0
, то в Е входит некоторая окрест-
ность V(x
0
) точки х
0
. Мера окрестности V(x
0
) положительна(это
длина интервала). Но, тогда
№ 110.
2mM
;
2
1
mS
.
№ 111. mE=1. Указание: представьте множество Е в
виде:
1k
k
EE
, где из множества
1
1
\
k
i
i
EF
, постройте множе-
ство
k
E
тех чисел, в десятичном разложении которых k-ой
цифрой после запятой будет обязательно цифра 5, при этом бу-
дем считать, что
0
E
.
Решение: множество
k
E
состоит из
1
9
k
элементов. Ка-
ждый элемент
k
E
представляет собой промежуток длины
k
10
1
. Так как множества
k
E
как объединения конечного числа 
      № 106. а) 1; б) n, если n-фиксированное число; мера
не существует, если n   ; в) 0, если n. Решение: согласно
                                                               1
свойству (меры Лебега) 5, имеем: mE  lim mEn  lim                0.
                                               n         n 2 n

       № 107.       38 . Решение: объединение всех интервалов-
                    45
открытое множество:
        1 1 1  2 1 1 1  2 1 7 1  8 1 1 
         ;      ;      ;      ;1 
        20 9 20   9 20 3 20   3 20 9 20   9 20 20 
. Его мера равна: 4   1  1   38 .
                        10 9  45
       № 108.     Замыкание множества меры нуль не обязано
иметь меру нуль. Решение: приведем пример, когда замыкание
множества не имеет меру нуль: пусть Е –множество рациональ-
ных чисел на отрезке   [0; 1] , тогда mE  0 , mC ( E )  1 .
       № 109. Нет, не может. Решение: если множество Е со-
держит внутреннюю точку х0, то в Е входит некоторая окрест-
ность V(x0) точки х0 . Мера окрестности V(x0) положительна(это
длина интервала). Но, тогда mE  mV ( x0 )  0.
                                       1
       № 110.      mM  2 ;     mS      .
                                       2
       № 111.      mE=1.      Указание: представьте множество Е в
                                            k 1
виде: E     Ek , где из множества F \  Ei , постройте множе-
            k 1                             i 1

ство E k тех чисел, в десятичном разложении которых k-ой
цифрой после запятой будет обязательно цифра 5, при этом бу-
дем считать, что E0   .
       Решение: множество E k состоит из 9 k 1 элементов. Ка-
ждый элемент E k представляет собой                 промежуток   длины
 1
     . Так как множества E k как объединения конечного числа
10 k


                                    208

Страницы