Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

210
где множества рациональных чисел Q, множество точек
отрезка [a;b] и пустое множество Ø –измеримы.
№ 120. Доказательство: по условию
3
f
- измеримая
функция, значит множество
))((
3
AxfE
- измеримо по Лебе-
гу. Из справедливости равенства множеств:
))(())((
3
3
AxfEAxfE
,
и произвольности выбора числа А, следует измеримость
функции f.
№ 121. Нет, не следует. Доказательство: Достаточно
привести хотя бы один пример противоречащий условию зада-
чи, например: пусть
,,1
,,1
)(
CЕxесли
Еxесли
xf
где А- произвольное измеримое множество, а СЕ –его
дополнение, функция f- неизмерима, тогда как функция f
2
(х)=1
– измерима.
№ 122. Доказательство: построим последователь-
ность точек
i
(такую что
...
321
) сходящуюся к а,
и последовательность
i
(где
...
321
) сходящуюся
к b . Очевидно, что
1
;;
i
ii
ba
. Поскольку функция f, по
условию, измерима на любом промежутке
, то, для лю-
бого числа A, множество точек
iii
AxfEE
;))((
измеримо. Но множество
))(( AxfE
всех точек из интервала
ba;
, в которых
Axf )(
, равно объединению всех множеств
i
E
:
i
i
EAxfE ))((
. Следовательно, множество
))(( AxfE
измеримо при любом A; значит f измерима на
интервале
ba;
. А так как отрезок [a;b] отличается от интерва-
ла
ba ;
лишь множеством меры нуль, то функция f измерима и
на отрезке [a;b].
№ 123. Доказательство: рассмотрим функцию: 
       где множества рациональных чисел Q, множество точек
отрезка [a;b] и пустое множество Ø –измеримы.
       № 120.     Доказательство: по условию f 3 - измеримая
функция, значит множество E ( f 3 ( x )  A) - измеримо по Лебе-
гу. Из справедливости равенства множеств:
                         E ( f 3 ( x)  A)  E ( f ( x)  3 A ) ,
       и произвольности выбора числа А, следует измеримость
функции f.
       № 121. Нет, не следует. Доказательство: Достаточно
привести хотя бы один пример противоречащий условию зада-
                                                      1,   если x  Е ,
                                                     
чи, например: пусть                         f ( x)  
                                                     
                                                      1, если x  CЕ ,
       где А- произвольное измеримое множество, а СЕ –его
дополнение, функция f- неизмерима, тогда как функция f 2(х)=1
– измерима.
       № 122.         Доказательство: построим последователь-
ность точек  i  (такую что 1   2  3  ... ) сходящуюся к а,
и последовательность  i  (где 1   2   3  ... ) сходящуюся
                                        
к b . Очевидно, что a; b               ;  .
                                        i 1
                                               i    i    Поскольку функция f, по

условию, измерима на любом промежутке i ;  i , то, для лю-
бого числа A, множество точек            Ei  E ( f ( x)  A)  i ; i 
измеримо. Но множество E ( f ( x )  A) всех точек из интервала
a; b , в которых   f   ( x)   , равно объединению всех множеств
                                   A




Ei :      E ( f ( x )  A)   Ei .   Следовательно,        множество
                                i
E ( f ( x)  A) измеримо при любом A; значит f измерима на
интервале a; b . А так как отрезок [a;b] отличается от интерва-
ла a; b лишь множеством меры нуль, то функция f измерима и
на отрезке [a;b].
       № 123. Доказательство: рассмотрим функцию:
                                                   210

Страницы