Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

209
интервалов – измеримы и попарно не пересекаются, то множе-
ство Е измеримо, причем
1
1
2
.1
9,01
1,0
...
10
9
...
10
9
10
1
k
k
k
k
mEmE
№ 112. Да, измерима. Решение: при A<5 справедливо
равенство:
))(( AxfE
= Е, а по условию множество Е измери-
мо, при А
5 справедливо равенство:
))(( AxfE
= Ø, а пустое
множество также измеримо.
№ 113. а) Да., измеримо. Решение: данное множест-
во можно представить в виде:
 
1
)
1
())((
n
n
AxfEAxfE
.
Ввиду произвольности выбора числа А, множества
)
1
)((
n
AxfE
измеримы, так как по условию f - ограничен-
ная измеримая функция, заданная на множестве Е. По свойству
меры множества (по Лебегу) пересечение счетного множества
измеримых множеств измеримо, откуда и следует измеримость
заданного множества..
б) Да, измеримо. Указание: представьте данное множе-
ство в виде:
))(( AxfE
= E \ E (f (x)
A) и воспользуйтесь
свойствами измеримых множеств и функций.
в) Да, измеримо. Указание: представьте данное мно-
жество в виде: E (f(x)=A) = E (f (x)
A) \
))(( AxfE
.
№ 114. Доказательство: из условия следует, что за-
данная функция монотонна и ограничена, значит для любого
числа А множества
))(( AxfE
замкнуты, откуда и следует
их измеримость (см. решение задачи №112(а).
№ 115. Доказательство: данная функция измерима,
так как множество
))(( AxfE
измеримо, поскольку его можно
представить в виде: 
интервалов – измеримы и попарно не пересекаются, то множе-
ство Е измеримо, причем
                
                            1   9        9 k 1       0,1
        mE   mEk            2  ...  k  ...           1.
               k 1        10 10         10         1  0,9
       № 112. Да, измерима. Решение: при A<5 справедливо
равенство: E ( f ( x)  A) = Е, а по условию множество Е измери-
мо, при А  5 справедливо равенство: E ( f ( x)  A) = Ø, а пустое
множество также измеримо.
           № 113. а) Да., измеримо. Решение: данное множест-
                                                   
во можно представить в виде: E ( f ( x )  A)   E ( f x   A  ) .
                                                                  1
                                                  n 1            n
Ввиду произвольности выбора числа А, множества
                 1
E ( f ( x )  A  ) измеримы, так как по условию f - ограничен-
                 n
ная измеримая функция, заданная на множестве Е. По свойству
меры множества (по Лебегу) пересечение счетного множества
измеримых множеств измеримо, откуда и следует измеримость
заданного множества..
           б) Да, измеримо. Указание: представьте данное множе-
ство в виде: E ( f ( x)  A) = E \ E (f (x)  A) и воспользуйтесь
свойствами измеримых множеств и функций.
           в) Да, измеримо.    Указание: представьте данное мно-
жество в виде: E (f(x)=A) = E (f (x)  A) \ E ( f ( x )  A) .
           № 114.     Доказательство: из условия следует, что за-
данная функция монотонна и ограничена, значит для любого
числа А множества E ( f ( x )  A) замкнуты, откуда и следует
их измеримость (см. решение задачи №112(а).
           № 115.     Доказательство: данная функция измерима,
так как множество E ( f ( x )  A) измеримо, поскольку его можно
представить в виде:
                                        [a; b], A  0,
                                        
                      E ( f ( x)  A)  Q,      0  A  1,
                                        ,      A  1,
                                        

                                      209

Страницы