Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

206
А так как
Kknn
k
,
, то
0, nn
k
при
Kk
, и
это означает, что
nn
k
k
lim
. Если же в последовательности
k
n
при любом сколь угодно большом K имеются члены
Kmknn
mk
,,
, то в силу того, что
1
1
1,
mk
mk
nn
nn
такая последовательность не является фундаментальной.
Итак, фундаментальными в данном пространстве могут быть
лишь последовательности, постоянное с некоторого номера, и
они сходятся, значит это пространство полное.
№ 98. Нет, полным не является. Решение: рассмот-
рим последовательность
nx
n
. Пусть
–любое положи-
тельное число и пусть k>n>N.
Тогда
)
2
(
2
);( arctgnarctgkxx
nk
,
поскольку
2
lim
arctgn
n
, то существует такой номер N, что
при n>N выполняется неравенство
2
arctgn
или
22
arctgn
. Следовательно, последовательность
n
x
фундаментальная. Пусть
0
xx
n
, тогда
0lim
0
arctgnarctgx
n
.
Положив
n
arctgnarctgx
0
(
где
0
n
при
n
), получим:
2
)(limlim
0
n
nn
arctgnarctgx
,
что невозможно. Полученное противоречие показывает,
что рассматриваемая последовательность предела не имеет и
пространство не является полным. 
         А так как nk  n , k  K , то  nk , n   0 при k  K , и

это означает, что lim nk  n . Если же в последовательности
                          k 

nk при    любом сколь угодно большом K имеются члены

nk  nm , k , m  K , то в силу того, что  nk , nm   1 
                                                                  1
                                                                       1
                                                               nk  nm
       такая последовательность не является фундаментальной.
Итак, фундаментальными в данном пространстве могут быть
лишь последовательности, постоянное с некоторого номера, и
они сходятся, значит это пространство полное.
       № 98. Нет, полным не является. Решение: рассмот-
рим последовательность xn   n. Пусть  –любое положи-
тельное число и пусть k>n>N.
                                                                    
         Тогда        ( xk ; xn )  arctgk  arctgn           (         )   ,
                                                           2           2
                                 
поскольку lim arctgn                , то существует такой номер N, что
              n                2
                                                               
при n>N выполняется неравенство                    arctgn                    или
                                                               2
                     
       arctgn    . Следовательно, последовательность
 2               2
xn фундаментальная.      Пусть       x n  x0 ,    тогда
lim arctgx 0  arctgn  0
n                                  .
         Положив                         arctgx0  arctgn   n                    (
где  n  0 при n   ), получим:
                                                                   
                      lim arctgx 0  lim (arctgn   n )              ,
                      n                  n                     2
       что невозможно. Полученное противоречие показывает,
что рассматриваемая последовательность предела не имеет и
пространство не является полным.


                                             206

Страницы