Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 202 стр.

       № 63.        а) Нет.               Решение: с помощью производной на-
ходим, что
                                                                             1       1
                                 ( f n , f )  max f n ( x )  f n ( )  .
                                                 0 x 1                     n       2
Так как  ( f n , f ) не стремится к нулю при n   , то ответ на
вопрос задачи отрицательный.
       б) Да. Решение: в пространстве C1 [0;1] имеем:
                            1                                    1                        1
                                                                    nx  dx    1 d (1  n 2 x 2 )
         ( f n , f )   f n ( x)  f ( x) dx  
                                                                               2n 0 1  n 2 x 2
                                                                                                 
                                                                 0 1 n x
                                                                         2 2
                            0



            ln(1  n 2 ) . По правилу Лопиталя имеем
                                                    lim  ( f n , f ) 
                2n                                   n 


         lim ln(1  n )  lim n
                      2
                                                        0 . Это означает, что f n  f
          n       2n     n              1 n2
по метрике пространства C1 [0;1] .
      № 64. Да. Решение: с помощью производной нахо-
дим:
                                                                                         ln(1  n 2 )
                 max            f n ( x)  f ( x)  max f n ( x)  f n (1) 
                  0 x 1                              0 x 1                              2n 2
                                           max         f n ( x )  f ( x ) 
                                             0 x 1
                                                         1         x           1
                                 max f n ( x )  f n ( )        2 2 
                                                                               
                                  0  x 1               n     1  n x  x  1 2n
                                                       .                         n


       Для нахождения  ( f n , f ) нужно выбрать наибольшее
из двух полученных выражений. Однако, поскольку сделать это
не совсем просто, можно поступить и иначе. Заметим, что пер-
вое (это легко проверить с помощью правила Лопиталя) и вто-
рое выражения стремятся к нулю при n стремящемся к беско-
нечности. Откуда видно, что  ( f n , f ) стремится к нулю.
       № 78. Да, является. Решение: пусть у(х) – произволь-
ный элемент пространства C[0;1] и y n (x ) -произвольная схо-
дящаяся к нему последовательность.             Это означает, что
lim  ( y n, ; у)  lim max y n ( x)  y( x)  0.
n                n 0 x 1



                                                           203