Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

позволяет отождествить понятия "точка
x
на числовой оси" и
"вещественное число
x
."
Определим некоторые часто встречающиеся подмножества . Пусть
- вещественные числа.
R
abx,,
(){ }ab x a x b,=:<<,
}
} }
}
}
}a
- открытый интервал;
[]{ab x a x b,= :≤≤
- замкнутый интервал;
(]{ab x a x b,= :<≤
и
[)
- полуоткрытые интервалы.
{ab x a x b,=:≤<
Эти интервалы называются конечными промежутками и на числовой
оси изображаются отрезками с включением или без включения в них
конечных точек.
Введем бесконечные промежутки:
(){xx−∞,+∞ = : ∈R
, т.е. ;
()−∞,+∞ = R
(){ }(){bxxb bxxb−∞, = : < ; −∞, = : ≤ ;
[){ }{){axxaaxx,+∞ = : ≥ ; ,+∞ = : > .
Можно показать, что любой промежуток имеет мощность континуума.
1.3.2 Ограниченность числовых множеств
Определение 1.11. Пусть . Говорят, что ограничено сверху,
если существует
⊂XR X
M
∈R , такое что
x
∀
∈X
выполнено
x
M≤
. При этом
число
M
называется верхней границей множества . Наименьшая из всех
верхних границ множества
X
X
называется точной верхней границей (или
верхней гранью) множества .
X
Множество, что называют ограниченным снизу, если существует
, такое что выполнено
X
m∈R x∀∈X
x
m≥
. При этом число называется
нижней границей множества . Наибольшая из всех нижних границ
множества называется точной нижней границей (или нижней гранью)
множества .
m
X
X
X
Верхняя грань множества обозначается нижняя - (от
латинских слов - наивысшее и
infimum
- наинизшее).
X
sup ,X infX
supremum
Верхняя и нижняя грани могут как принадлежать множеству, так и не
принадлежать ему.
Пример 1.9. 1. Полуоткрытый интервал
[)ab
,
есть множество, ограни-
ченное сверху и снизу, причем нижняя грань - точка принадлежит ему,
верхняя грань - точка не принадлежит ему.
a a
b
2. Множество имеет верхней гранью число
{2
n
xx n
−
=:= , ∈X }N
1
2
ему
принадлежащее, а нижней - число 0, которое ему не принадлежит.
1.3.3. Абсолютная величина вещественного числа
Пусть
x
- произвольное вещественное число, т.е.
x
∈
R
если 0
если 0
0 если 0
xx
xx x
x
−
,<
⎧
⎪
|
|= , >
⎨
⎪
,
=
⎩

Страницы