Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что число , которое является периодом бесконечной дроби,
обычно не пишут, превращая тем самым бесконечную дробь в конечную.
При этом рациональные числа представимы в виде конечной или
бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные - в виде
бесконечной непериодической десятичной дроби.
0
Далее будут использоваться следующие основные свойства
вещественных чисел:
1. Упорядоченность. Это значит, что любые два вещественных числа
и находятся в одном и только в одном из трех соотношений:
a
a
b b
<
,
ab
=
,
ab>.
2. Плотность. Между любыми двумя числами находится бесконечно
много рациональных и иррациональных чисел.
Из последнего свойства следует, что всякое иррациональное число
можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом. На практике
такое приближение осуществляют, оставляя в бесконечной неперио-
дической дроби, которая соответствует иррациональному числу, только
конечное число первых десятичных знаков и заменяя остальные нулями.
Известно, что множество рациональных чисел счётно, а множество
вещественных чисел не является счетным и имеет, по определению,
мощность континуума. Это связано со свойством непрерывности .
Подробнее о свойствах множества можно прочесть в одном из полных
курсов математического анализа.
R
R
R
1.3.1 Геометрическая интерпретация вещественных чисел
Установим эквивалентность множества вещественных чисел и
множества точек числовой оси (вещественной прямой). Напомним, что
числовой осью называется прямая, на которой установлено положительное
направление (обычно указывается стрелкой); точка 0, называемая началом
отсчета и масштаб, т.е. отрезок, длина которого принята за единицу.
Рис. 1. 2
На рис.1.2 числовая ось расположена горизонтально, за положительное
выбрано направление слева направо. Точка, соответствующая числу
x
строится так: если , то эта точка лежит правее точки 0 на расстоянии
0x >
x
от нее; если
0x
<
, то точка лежит слева от точки 0 на расстоянии
x
−
от нее;
если , то соответствующая точка совпадает с точкой 0. Аналогичным
образом, каждой точке на числовой оси можно поставить в соответствие
единственное число
0x =
x
. Установленное взаимно однозначное соответствие

Страницы