Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

точка
x
может принадлежать или не принадлежать . X
Пример 1.10. 1. Пусть
(1 4)
=
,X
. Любая точка
x
, принадлежащая этому
открытому интервалу, принадлежит ему вместе с некоторой своей
достаточно малой окрестностью. В силу этого любая точка промежутка
является его внутренней точкой. Любые окрестности точек
(1 4),
1
x
=
и
содержат как точки, принадлежащие промежутку , так и точки,
ему не принадлежащие. Следовательно, точки
4x =
(1 4),
1
x
=
и будут
граничными точками промежутка
4x =
(1 4)
,
, ему не принадлежащими.
2. Пусть . Любая точка будет внутренней точкой этого
промежутка. Точка будет граничной точкой промежутка , ему
принадлежащей.
[0 )=,+∞X
0x >
0x =
X
Определение 1.16. Множество называется открытым, если все
его точки внутренние. Примером открытого множества может служить
рассмотренный выше интервал
(1
⊂
XR
4)
,
.
Определение 1.17. Точка
0
x
∈
R называется предельной точкой для
множества , если любая окрестность точки
⊂XR
0
x
содержит хотя бы
одну точку множества
0
{}
x
X 5 , т.е.
00
0()({})x
ε
ε
>: ∩ ≠∅Rx X5 .
Заметим, что предельные точки могут быть как внутренними, так и
граничными.
Пример 1.11. Пусть
[0 )
=
,+∞X
. Любая точка будет предельной для
по определению, но точка
0x ≥
X
0x
=
при этом является граничной, а
остальные - внутренними.
Определение 1.18. Множество называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки.
X
Примерами замкнутых множеств могут служить, например, замкнутые
интервалы
[]ab
,
.
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 1.1. Для того, чтобы множество было открытым,
необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было
замкнутым.
⊂XR
′
=
XRX5
1. 4 Функции
1.4.1 Отображения множеств.
Определение 1.19. Если даны два непустых множества , и закон X Y
f
, ставящий в соответствие каждому
x
∈
X
один и только один
y
∈
Y
, то
говорят, что задано отображение
f
множества в множество
Y
X
(1.1)
f :→XY
Заметим, что в определении не требуется, чтобы каждый элемент
yY
∈
множества был непременно поставлен в соответствие некоторому
Y
x
∈
X
.
Не требуется также и чтобы различным элементам из были сопоставле-
X

Страницы