Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

1.4. 5 Периодические функции
Определение 1.24. Функция
()yfx
=
с областью определения
называется периодической, если существует такое , что:
X
0T >
1) и ;
xT−∈X xT+∈X
2) выполняется равенство
x∀∈X
() ( )
f
xfxT
=
+
;
3) среди всех таких чисел
T есть наименьшее.
Это наименьшее
T называется периодом функции
()yfx
=
.
Сформулируем свойства периодических функций:
1. Область определения периодической функции симметрична
относительно начала координат.
2. Для периодической функции
()yfx
=
с периодом на всей области
определения справедливо равенство
T
()()
f
xkT fx
+
=
, где - целое число.
k
3. Если периодическая функция с периодом
T , то
()yfx= ()yfxa=+
также периодическая с периодом
T
.
4. Если
()yfx
=
периодическая функция с периодом , то T
()yfax
=
также периодическая с периодом
T
, где
a/| |
0a
≠
.
Пример 1.16 1. Рассмотрим функцию
3y
. Равенство
() ( )
f
xfxT
=
+
выполнено
x
∀
∈R
и для всех , но среди указанных значений нет
наименьшего. Поэтому данная функция не является периодической.
0T >
T
2. Функция
2
sin
y
x= периодическая с периодом
π
. Действительно,
2
1cos2
sin
2
x
x
−
= , а функция
cos
y
x
=
имеет период равный
π
(см. свойство 4).
1.4.6 Ограниченные функции
Определение 1.24. Говорят, что функция с областью
определения ограничена сверху на множестве , ( ), если
существует такое
()yfx=
X
0
X
0
⊂XX
M
, что
0
x
∀
∈ X выполнено неравенство
()
f
xM
≤
.
Функцию называют ограниченной снизу на множестве , если
существует такое , что
()yfx=
0
X
m
0
x
X
∀
∈ выполнено неравенство
()
f
xm≥
.
Функцию называют ограниченной на множестве , если
существует такое , что
()yfx=
0
X
0L >
0
x
∀
∈ X выполнено неравенство
()
f
xL||≤
.
Если , где - область определения функции , то эту
функцию называют ограниченной (соответственно, ограниченной сверху,
ограниченной снизу).
0
=XX X
()yfx=
Очевидно, что функция ограничена тогда и только тогда, когда она
ограничена сверху и ограничена снизу.
Отметим также, что сумма и произведение ограниченных функций
также есть ограниченная функция.
Пример 2.17. 1. Рассмотрим функцию
2
45
y
xx
=
++. Выделяя полный
квадрат, получим . Наименьшее значение эта функция
принимает при . Поэтому множество её значений
2
(2)yx=+ +1
1y =
2x =−
[1 )
;
+∞
. По
определению 1.25 данная функция ограничена снизу.

Страницы