Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2. Функция
sin cosyxx=+
ограничена как сумма ограниченных функций.
1.4.7 Взаимно - однозначные функции. Монотонность
Определение 1.26. Функция
()yfx
=
с областью определения и
дл
X
множеством значений
()f X
назы взаимно-однозначной, если я
любых
1
вается
x
и
2
x
, принадлежащих области определения X из условия
12
x
x
≠
следует, то
12
() ()
ч
f
xfx≠ .
Иначе говоря, на всей области определения различным значениям
x
аргумента должны соответствовать различные значения функции.
Можно говорить о взаимной однозначности функции
yf()
=
на
тности,
)
8. 1. Функция
некотором подмножестве области определения (в час на
промежутке .
Пример 1.1
4
3yx
=
− не является взаимно - однозначной в
области определения
=
XR
,
() ()
так как
xfx
−
=
, но она взаимно- одно-
значна на промежутках
0][0)
(
−
∞, , ,+∞
.
2. Функция
2cosyx=
- однозначна
не взаимно в области определения
апример,
()=−∞,+∞X
(н в силу периодичности), но обладает этим
на любом из промежутков
[)kk
свойством
π
ππ
,
+
, где
k
- произвольное
целое число.
Как легко зам
етить, достаточным условием взаимной - однозначности
функции на некотором подмножестве области определения (промежутке)
будет строгая монотонность данной функции на нем.
Напомним соответствующие определения.
Определение 1.27. Функция
()yfx
=
называется возрастающей на
некотором множестве X , если дл
12
xx
я любых
,
∈ X выполняется соотно-
шение
21 2 1
()(()())
x
xfxfx>⇒ > , означающее, что шему значению аргу-
мента от чение функции.
Функция
()yfx=
называется убывающей
боль
вечает и большее зна
на , если для любых
а
X
12
xx,∈X верна ция:
21 2
()(()()) имплик
1
x
xfxfx>⇒ < , то есть, если большему
ю аргумента соответ ие функции.
Если функция
()yfx=
возрастает на
X
, или убывает на
X
значени ствует меньшее значен
, то она
й множестве , если
называется строг онной на
X .
Функция называется неубывающе на
о монот
X
21 2 1
()(()())
x
xfxfx>⇒ ≥ для любых
12
xx,∈X ,
множестве , если и невозрастающей на
X
21 2
()(()())
1
x
xfxf>⇒ ≤ для лx юбых
12
xx
,
∈ X .
, убывающие, неубы невозрастающие на Возрастающие вающие и
X
функции называются функциями, монотонными на
X .
Заметим следующее: если функция
()yfx
=
мо отн онна на , то она
монотонна на любом подмножестве . При этом характер
монотонности сохраняется.
X
множества
X

Страницы