Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что в виде следствия формулируются наиболее часто
встречающиеся в математике предложения - теоремы. Если условие
теоремы обозначить , а заключение – , то теорема примет вид: .
Говорят также, что есть достаточное условие , а - необходимое
условие . Назовем теорему прямой, теорему - обратной, а
теоремы и соответственно, противоположной прямой и
противоположной обратной.
P
Q PQ⇒
P
Q Q
P
PQ⇒ Q⇒ P
PPQ¬⇒¬ Q¬⇒¬
Пример 1.1. Прямая теорема: если выпуклый четырехугольник - ромб,
то его диагонали взаимно перпендикулярны. Здесь: "выпуклый
четырехугольник - ромб"
−
это высказывание , а утверждение, что
"диагонали взаимно перпендикулярны"
P
−
это высказывание . Обратная
теорема - “если диагонали взаимно перпендикулярны, то выпуклый
четырехугольник – ромб”; противоположная прямой- “ если выпуклый
многоугольник не ромб, то его диагонали взаимно не перпендикулярны”;
противоположная обратной- “если диагонали не взаимно
перпендикулярны, то выпуклый многоугольник не ромб”. Очевидно, что в
данном примере прямая теорема верна, теорема, противоположная
обратной, также верна, а обратная и противоположная прямой - нет.
Q
Такая связь между истинностью не случайна: соответствующие
теоремы просто эквивалентны. Установим эквивалентность прямой и
противоположной обратной теорем:
()(PQ Q P⇒⇔¬⇒¬).
Рассмотрим значения левой и правой части в зависимости от
истинности и . Если указанные значения во всех возможных случаях
совпадут, то эквивалентность будет доказана.
P
Q
1. - истинно, - истинно. Тогда слева - истинно по
определению следствия, справа
P
Q (1 1)⇒
(1 1)
¬
⇒¬
, что по определению отрицания
эквивалентно . Последнее истинно по определению следствия.
(0 0)⇒
2. - истинно, - ложно. Слева - ложно, справа
P
Q
(1 0)⇒
(0 1) (1 0) ложно¬⇒¬ ⇔ ⇒ − .
3. - ложно, - истинно. Слева - истинно, справа
P
Q
(0 1)⇒
(1 0) (0 1) истинно¬⇒¬ ⇔ ⇒ − .
4. - ложно, - ложно. Слева - истинно, справа
Эквивалентность доказана.
P
Q
(0 0)⇒
(0 0) (1 1) истинно¬⇒¬ ⇔ ⇒ − .
Заметим, что известный метод доказательства от противного
представляет собой замену доказательства прямой теоремы на
доказательство эквивалентной ей противоположной обратной.
Используя этот же подход, устанавливают эквивалентность обратной и
противоположной прямой теорем.
Аналогично доказывается еще одна очень важная эквивалентность:
()(()(PQ PQQP))
⇔
⇔⇒∧⇒,
то есть эквивалентно тогда и только, когда следует из и
следует из .
P
Q Q
P P
Q

Страницы