Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2. Множество натуральных чисел определяют рекуррентно с
помощью следующих двух утверждений:
1
N
∈
N
, и, если , то
n∈N 1n
+
∈N
.
3. Множество задано характеристическими
свойствами, а именно: его элементы
{( )(1 4)}xxN x=:∈ ∧≤<A
x
есть натуральные числа,
удовлетворяющие неравенству
1x 4
≤
<
. Этому условию удовлетворяют
числа
12
и только они. Следовательно,
3,, {1 2 3}
=
,, .A
Установим некоторые отношения между множествами.
Определение 1.1. Множества и называются равными
(
A B
)
=
AB
, если
они состоят из одних и тех же элементов, то есть
()(( )(xx x xx x=⇔∀:∈⇒∈∧∀:∈⇒∈AB A B B A)).
)).
0xx x
Определение 1.2. Если каждый элемент множества является
элементом множества , то говорят, что
B -подмножество A
()
B
A
⊂.BA
Очевидно,
()(( )(=⇔ ⊂∧⊂AB B A A B
Пример 1.5. Доказать, что если
2
{815}
=
:−+=A
{1 6}=,B
и , то
=
.AB
Множество задано характеристическим свойством. Его элементы есть
корни уравнения . Решая данное уравнение, найдем, что
Тогда . Следовательно,
A
2
815xx−+=0
12
1, 6.xx==
{1 6}=,A
AB по определению равен-
ства множеств (см. опp.1.1).
Пример 1.6. Найти все его подмножества.
{1 2}=,.A
По определению (см. опр.1.2), каждый элемент подмножества должен
содержаться в
A
. Перечислим все возможные подмножества:
{1} { 2}
,
, а
также
{1
и
2},
∅
, ибо по определению и ⊂AA
∅
⊂.A
Множества и называют несобственными подмножествами
множества
A
∅
A
.
Определение 1.3. Множество называется универсальным
множеством для системы множеств
J
,
,, ,ABCL
если каждое из этих
множеств является его подмножеством.
1.2.2 Операции над множествами
Определение 1.4. Объединением ) или суммой множеств ,
называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества
( ∪AB
A B
A
или , и только из них: .
B
{( )( )}
xx x∪= :∈ ∨∈AB A B
Определение 1.5. Пересечением
()
∩
AB
или произведением множеств
и называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих
как множеству , так и множеству , и только из них:
A B
A B
{( )( )}xx x∩= :∈ ∧∈AB A B.
Определение 1.6. Разностью множеств и называется
множество, состоящее из элементов множества , не входящих в , и
только из них:
AB5
A B
A B
{( )( )}xx x=:∈∧∈AB A B5 .
Определение 1.7. Дополнением
′
B множества называется разность
, где - универсальное множество.
B
JB5

Страницы