Введение в математический анализ. Шепелявая Н.Б. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

В математике часто приходится иметь дело с выражениями,
зависящими от параметра. Например,
2
() { 5}Px x
=
> . Очевидно, что
ложно, а - истинно. В связи с этим применяют особые символы:
квантор общности В математике часто приходится иметь дело с
выражениями, зависящими от параметра. Например,
(1)P
(3)P
2
() { 5}Px x
=
> .
Очевидно, что ложно, а - истинно. В связи с этим применяют
особые символы: квантор общности
(1)P (3)P
()
∀
и квантор существования
()
∃
.
Так, запись (
x
P
∃
:
) означает, что "существует по крайней мере один
x
, для
которого высказывание истинно", а запись (
P
x
P
∀
:
) следует читать: "для
всякого
x
высказывание истинно". P
Обратим внимание на то, что при построении отрицания кванторы
общности и существования замещают друг друга, а финальное
высказывание заменяется противоположным, то есть
P
()( ) ()( )
PxP xP x¬∀:⇔∃:¬, ¬∃:⇔∀:¬P.
Пример 1.2. Отрицанием выражения "для каждого
x
выполнено
неравенство " будет следующее - "существует по крайней мере
один
() 0fx≤
x
такой, что выполняется неравенство ", и наоборот,
противоположным к предложению "существует по крайней мере один
() 0fx>
x
,
такой, что " будет следующее - "для каждого
() 0fx≤
x
верно "
() 0fx>.
Утверждение в общем случае может зависеть от двух и более
параметров.
P
Пример 1.3. Пусть
(){Pxy студент x решил задачу y}
,
≡
. При этом
различные кванторы, относящиеся к такому высказыванию, нельзя менять
местами. Действительно, выражение
(())
x
yPxy
∀
∃: ,
означает, что "для
каждого студента существует по крайней мере одна задача, которую он
решил", а читается так: "найдется по крайней мере одна
задача, которую решили все студенты".
((yxPxy∃∀ : , ))
1.2 Множества
1.2.1. Понятие множества
Множество относится к простейшим неопределенным понятиям и
понимается как собрание, совокупность объектов. Объекты, составляющие
множество, называются его элементами. Если таковых нет, то множество
называют пустым. Если
x
- элемент множества , то пишут A
x
∈
A
; в
противоположном случае:
x
∈
A
(или x
∈
/
A ). Пустое множество обозначают
символом . Считается, что множество задано, если перечислены все его
элементы или указано некоторое характеристическое свойство, которое их
определяет. Заметим, что перечисление может быть произведено
непосредственно или с помощью рекуррентных формул.
∅
Пример 1.4. 1. Множество
{}
=
,,A dV
задано непосредственным пере-
числением элементов.

Страницы