Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 108 стр.

   5.   mNOVESTWO ( E ) ZAMKNUTO TTOGDA ONO SODERVIT WSE SWOI
PREDELXNYE TO^KI.
   pUSTX ZAMKNUTO I x0 62 . tOGDA E n OTKRYTO I SU]ESTWUET
" > 0 TAKOE, ^TO B"(x0)  E n , NO TOGDA x0 NE QWLQETSQ PREDELXNOJ
DLQ . oBRATNO, PUSTX SODERVIT WSE SWOI PREDELXNYE TO^KI I x0 62 .
tOGDA (TAK KAK x0 | NE PREDELXNAQ DLQ ) SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO
B"(x0) \ = ;, TO ESTX B"(x0)  E n . iTAK, E n OTKRYTO. >
    6. iZ TEHNI^ESKIH SOOBRAVENIJ BYWAET UDOBNO K EWKLIDOWU PROSTRAN-
STWU E DOBAWLQTX NESOBSTWENNU@ TO^KU 1: -OKRESTNOSTX@ TO^KI 1 NA-
ZOWEM MNOVESTWO WIDA fx 2 E : kxk > N g. zA OTSUTSTWIEM PORQDKOWYH
SWOJSTW W OBY^NOM IH PONIMANII (SM. 6.1) W PROSTRANSTWAH Rn (n > 1)
I C n (n  1) NESOBSTWENNYE \LEMENTY TIPA 1 NE WWODQTSQ. w SLU^AE
C 1 PRISOEDINENIE NESOBSTWENNOGO \LEMENTA 1 DOPUSKAET GEOMETRI^ESKU@
INTERPRETACI@ (STEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ).
    u P R A V N E N I Q. 7. zAMKNUTYE MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRAN-
STWE OBLADA@T SWOJSTWAMI:
    (TA) ESLI (Xi )i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO ZAMKNUTYH MNOVESTW W E ,
TO X ZAMKNUTO W E ,
        i
  i2I
   (B) ESLI X1; : : :; Xk ZAMKNUTY W E , TO S Xi ZAMKNUTO.
                                         k
                                            i=1
   8. pOKAVITE, ^TO MNOVESTWO B" [x]  fy 2 E : kx , y k  "g ZAMKNUTO
W E.
   x64. kOMPAKTNYE MNOVESTWA
   1. sEMEJSTWO (Ui )i2I ^ASTEJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ
POKRYTIEM MNOVESTWA X  E , ESLI X  S Ui. w ^ASTNOSTI, POKRYTIE
                                         i2I
NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI WSE Ui OTKRYTY.
   mNOVESTWO K W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM,
ESLI IZ WSQKOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ \TOGO MNOVESTWA MOVNO WYBRATX
KONE^NOE POKRYTIE.
   2. t E O R E M A. mNOVESTWO K W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE KOM-
PAKTNO TTOGDA ONO OGRANI^ENO I ZAMKNUTO.
  nEOBHODIMOSTX. pUSTX K KOMPAKTNO I fB1(x)gx2K | POKRYTIE K
OTKRYTYMI [ARAMI RADIUSA 1 S CENTRAMI W TO^KAH MNOVESTWA K . pO
                                  108