Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 109 стр.

OPREDELENI@ KOMPAKTNOSTI SU]ESTWUET               KONE^NOE ^ISLO [AROW B1(x1),: : :,
                                          S
                                          n
B1(xn) (xi 2 K ) TAKIH, ^TO K  B1(xi). oTS@DA K  BN +1(), GDE N =
                                         i=1
max
1in
       k x i k , TO ESTX K OGRANI^ENO      . eSLI DOPUSTITX, ^TO K NE ZAMKNUTO,
TO1 (SM. 63.5) NAJDETSQ TO^KA x 62 K PREDELXNAQ DLQ K . tOGDA fxg =
 T B [x], GDE (B [x]) | POSLEDOWATELXNOSTX ZAMKNUTYH [AROW (SM.
n=1
       1=n             1=n n2N
63.8). sLEDOWATELXNO, SEMEJSTWO (Un )n2N, GDE Un = E nB1=n[x], OBRAZUET
OTKRYTOE POKRYTIE K , PRI^EM U1  U2  : : : . w SILU KOMPAKTNOSTI K
SU]ESTWUET n0 2 N TAKOE, ^TO Un0  K , NO TOGDA B1=n0 [x] \ K = ;, ^TO
PROTIWORE^IT TOMU, ^TO x | PREDELXNAQ TO^KA DLQ K .
     dOSTATO^NOSTX. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI E = Rn I
              
 = fx = (x1; : : : ; xn) 2 Rn j , N  xj  N (1  j  n)g
| ZAMKNUTYJ GIPERKUB, OB_EML@]IJ K : 
  K . dOPUSTIM, NAPROTIW,
^TO SU]ESTWUET OTKRYTOE POKRYTIE (Ui)i2I , NE SODERVA]EE NIKAKOGO KO-
NE^NOGO POKRYTIQ DLQ K . rAZOBXEM KUB 
 NA 2n KONGRU\NTNYH KUBOW

1j (1  j  2n ). sREDI NIH OBNARUVITSQ PO KRAJNEJ MERE ODIN, SKA-
VEM 
1j1 , TAKOJ, ^TO 
1j1 \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSIS-
TEMOJ IZ SISTEMY (Ui)i2I . rAZOBXEM TEPERX 
1j1 NA 2n KONGRU\NTNYH KUBA

2j (1  j  2n ), I SNOWA SREDI NIH OBNARUVITSQ HOTQ BY ODIN, NAPRIMER

2j2 , TAKOJ, ^TO 
2j2 \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSISTEMOJ
SISTEMY (Ui)i2I . pRODOLVIW \TOT PROCESS, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX

1j1  
2j2  : : : WLOVENNYH KUBOW, DLINY REBER KOTORYH STREMQTSQ K
NUL@, PRI^EM 
sjs \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ PODSISTEMOJ IZ
SISTEMY (Ui)i2I . pROEKCII \TIH KUBOW NA KOORDINATNYE OSI OPREDELQ@T
NA NIH SISTEMY WLOVENNYH OTREZKOW               S DLINAMI, STREMQ]IMISQ K NUL@.
                                             T
                                             1
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET x 2 
s . pRI \TOM x 62 K . (eSLI, NA-
                                  0                           0
                                       s=1 js
PROTIW, x0 2 K , TO SU]ESTWUET i0 2 I TAKOE, ^TO x0 2 Ui0 . tAK KAK Ui0
OTKRYTO, SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO B" (x0)  Ui0 . s DRUGOJ STORO-
NY, DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH s : 
sjs  B"(x0) I ZNA^IT, K \ 
sjs  Ui0 ,
^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO 
sjs \ K NE POKRYWAETSQ NIKAKOJ KONE^NOJ
SISTEMOJ MNOVESTW WIDA Ui (i 2 I ) | PROTIWORE^IE). iZ KONSTRUKCII
KUBOW 
sjs SLEDUET ODNAKO, ^TO x0 | PREDELXNAQ TO^KA K , I x0 2 K W SILU
ZAMKNUTOSTI K | PROTIWORE^IE. >

                                        109