Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 111 стр.

   3.  pOSLEDOWATELXNOSTX (xk ) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI SU]EST-
WUET M > 0 TAKOE, ^TO kxk k  M (k 2 N). oTMETIM NEPOSREDSTWENNOE
SLEDSTWIE TEOREMY 64.3.
   4. wSQKAQ OGRANI^ENNAQ WEKTORNAQ POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET
SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.
   dLQ WEKTORNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ IMEET MESTO KRITERIJ kO[I:
   5. pOSLEDOWATELXNOSTX (xk ) W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE SHODITSQ
TTOGDA ONA FUNDAMENTALXNA, TO ESTX
                  8" > 0 9N 8n; m > N (kxn , xmk < "):
 nEOBHODIMOSTX PO^TI O^EWIDNA (SM. DOKAZATELXSTWO NEOBHODIMOSTI W
11.7). dOSTATO^NOSTX: KAK I W SKALQRNOM SLU^AE (SM. 11.7), WYWODIM,^TO
IZ FUNDAMENTALXNOSTI SLEDUET OGRANI^ENNOSTX (xk ); W SILU P. 4 (xk )
OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@. sLEDOWATELXNO, (xk ) SHO-
DITSQ K TOMU VE WEKTORU, ^TO I SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. >
   x66. pREDEL FUNKCII W TO^KE
   1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, f :           ! F (  E ).
wEKTOR y 2 F NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a 2 E , ESLI a |
PREDELXNAQ TO^KA I DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xk ) (a =    6 xk 2 ),
SHODQ]EJSQ K a, POSLEDOWATELXNOSTX f (xk ) SHODITSQ K y. oBOZNA^ENIE DLQ
PREDELA TRADICIONNOE: y = xlim
                             !a f (x). oTMETIM KWANTORNYE ZAPISI \TOGO
RAWENSTWA:
   8" > 0 9 > 0 8x 2 (0 < kx , ak <  ) kf (x) , yk < "),
   8" > 0 9 > 0 8x 2 \ B (a) (f (x) 2 B"(y)).
   oTMETIM WIDOIZMENENIQ DANNOGO OPREDELENIQ NA NESOBSTWENNYE SLU-
^AI:
   2. lim f (x) = 1 OZNA^AET, ^TO a | PREDELXNAQ TO^KA      I
       x!a
         8N > 0 9 > 0 8x 2 (0 < kx , ak <  ) kf (x)k > N ):
   3. lim f (x) = y OZNA^AET, ^TO
      x!1                          NE OGRANI^ENO I f (xk ) ! y, KOLX
SKORO xk ! 1 (xk 2 ).

                                  111