Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 114 стр.

eSLI a 2 | PREDELXNAQ TO^KA , TO USLOWIE () \KWIWALENTNO USLOWI@
  !a f (x) = f (a).
xlim
     dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE, SPRAWEDLIWY ARIFMETI^ESKIE
SWOJSTWA:
     2. pUSTX f; g :        ! F (  E ) NEPRERYWNY W a 2 . tOGDA W a
NEPRERYWNY FUNKCII f  g.
     dLQ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH f : ! C (  E ) OPREDELENY
PROIZWEDENIE I ^ASTNOE (f 
 g; f=g). oBE \TI FUNKCII NEPRERYWNY W TO^-
KE a 2 , KOLX SKORO W a NEPRERYWNY f I g (DLQ ^ASTNOGO NUVNO E]E
POTREBOWATX, ^TOBY g(a) =      6 0).
     3. eSLI f : ! R (  E ) NEPRERYWNA W TO^KE a 2 I f (a) =                   6 0, TO
f (x) SOHRANQET ZNAK ^ISLA f (a) W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.
   p. 2,3 SLEDU@T IZ SOOTWETSTWU@]IH SWOJSTW PREDELOW. >
     4. pUSTX f :         ! F (  E ); g : D ! G (D  F ) (E; F; G |
EWKLIDOWY PROSTRANSTWA), PRI^EM f NEPRERYWNA W a 2 ; g NEPRERYWNA
W TO^KE f (a). tOGDA g  f NEPRERYWNA W a.
   bUDEM S^ITATX, ^TO a | PREDELXNAQ TO^KA, A f (a) | PREDELXNAQ TO^-
KA D (IBO L@BAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA W IZOLIROWANNOJ TO^KE EE OBLAS-
TI OPREDELENIQ). tOGDA xlim     !a f (x) = f (a) I, SLEDOWATELXNO, xlim   !a g  f (x) =
  !a g (f (x)) = g (f (a)) = g  f (a): >
xlim
     5. fUNKCIQ f :         ! F (  E ) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ, ESLI ONA
NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE x 2 . fUNKCIQ f NAZYWAETSQ RAWNOMERNO
NEPRERYWNOJ, ESLI
          8" > 0 9 > 0 8x; y 2 (kx , yk <  ) kf (x) , f (y)k < "):
     p R I M E R Y. 6. pUSTX WEKTOR b IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA F FIK-
SIROWAN. pOSTOQNNAQ FUNKCIQ f (x) = b (x 2 E ) NEPRERYWNA.
     7. fUNKCIQ f (x1 ; : : :; xn ) = x1 ((x1; : : : ; xn ) 2 C n ), RAWNOMERNO NEPRE-
RYWNA.
     8. eWKLIDOWA NORMA WEKTORA KAK FUNKCIQ IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA
W R NEPRERYWNA (DAVE RAWNOMERNO NEPRERYWNA).
     9. u P R A V N E N I E. wSQKAQ NORMA (NE OBQZATELXNO EWKLIDOWA) KAK
FUNKCIQ IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA W R NEPRERYWNA.
                                         114