Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   x70. sWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYH
         MNOVESTWAH
   1.  pUSTX E; F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, K ( E ) | KOMPAKTNOE
MNOVESTWO I f : K ! F NEPRERYWNA. tOGDA f OGRANI^ENA I RAWNOMERNO
NEPRERYWNA.
  pUSTX, NAPROTIW, f NE RAWNOMERNO NEPRERYWNA. tOGDA
    9" > 0 8m 2 N 9xm; ym 2 K (kxm , ymk < 1=m;
                                                           kf (xm) , f (ym)k  ").
 w SILU 65.4 POSLEDOWATELXNOSTX (xm) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDO-
WATELXNOSTX@ xmk ! a 2 K . nO TOGDA ymk ! a. tAK KAK f NEPRERYWNA W
TO^KE a; lim  k
                  kf (xmk ) , f (ymk )k = 0, ^TO, ODNAKO, PROTIWORE^IT NERAWEN-
STWU kf (xmk ) , f (ymk )k  " (k 2 N).
    pOKAVEM OGRANI^ENNOSTX f . w SILU RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI f
SU]ESTWUET  > 0 TAKOE, ^TO kx , yk <  ) kf (x) , f (y)k < 1 (x; y 2
K ). sISTEMA [AROW fB (x)gx2K OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE K . pUSTX
fB (x1); : : : ; B(xn )g | KONE^NOE POKRYTIE K (xi 2 K ). pOLAGAQ M =
1 + 1max
     kn
            kf (xk )k, MY POLU^AEM TREBUEMOE . >
    nA FUNKCII WIDA f : K ! R (K | KOMPAKTNOE MNOVESTWO W E ) OBOB-
]A@TSQ I OSTALXNYE SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE.
    2. pUSTX K ( E ) KOMPAKTNOE MNOVESTWO, I f : K ! R NEPRERYWNA.
tOGDA f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ.
  pUSTX, NAPRIMER, = sup f (x) I xm 2 K TAKOWY, ^TO
                            x2K

                          , m1 < f (xm)        (m 2 N):
pOSLEDOWATELXNOSTX (xm) OGRANI^ENA. pUSTX (xmk ) | SHODQ]AQSQ POD-
POSLEDOWATELXNOSTX: xmk ! a 2 K . tAK KAK f NEPRERYWNA W a, IMEEM
f (a) = limk
             f (xmk ) = : >
    pEREHODIM K ANALOGU TEOREMY O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH.
    3. ~ASTX EWKLIDOWA PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNOJ, ES-
LI DLQ L@BYH TO^EK x; y 2 NAJD

Страницы