Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 124 стр.

MNOVESTWO W Rn. oTOBRAVENIE ' OPREDELENO SISTEMOJ m SWOIH KOORDI-
NATNYH FUNKCIJ 'i (1  i  m) n PEREMENNYH (SM. 66.5):
                         X
                         m
      '(x1; : : : ; xn) = 'i (x1; : : :; xn)fi (x = (x1; : : :; xn) 2 ):
                            i=1
   pUSTX ' DIFFERENCIRUEMO W TO^KEj x 2 : '(x + h) , '(x) = '0(x)h +
o(h) (h ! ). wY^ISLIM MATRICU [di ] KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ '0(x).
dLQ \TOGO (S U^ETOM 72.1) ZAMETIM, ^TO
   '0(x)ej = lim        1 '0(x)(tej ) = lim 1 ['(x + tej ) , '(x) + o(t)]
                    t!0 t                   t!0 t
               = lim    1 [ ' ( x + te   ) , ' ( x )] = lim  P
                                                             m 1 i
                                                                  [' (x + tej ) , 'i(x)]fi
                    t!0 t              j                t!0 i=1 t
               = P @'
                     m      i
                              (x)fi (1  j  n):
                    i=1 @xj
               @'  i                                                    @'i 
       j
iTAK di = @xj (x). mATRICA ^ASTNYH PROIZWODNYH @xj (x) NAZYWAET-
SQ MATRICEJ qKOBI OTOBRAVENIQ '0(x). pOLU^EN \FFEKTIWNYJ SPOSOB
WY^ISLENIQ KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ (ESLI ONO SU]ESTWUET). oTMETIM
WAVNYE ^ASTNYE SLU^AI.
   2. [pROIZWODNAQ FUNKCII n PEREMENNYH]. pUSTX f (x) (x 2 ) | FUNK-
CIQ
 @fn PEREMENNYH. mATRICA             qKOBI f 0(x) QWLQETSQ TOGDA (n  1)-MATRICEJ
                  @f
 @x1 (x); : : :; @xn (x) , A ZNA^ENIE DIFFERENCIALA FUNKCII                  f NA SME]ENII
h = (dx1; : : : ; dxn) WY^ISLQETSQ PO FORMULE df (x) = P @x
                                                                      n @f
                                                                            j (x)dx :
                                                                                   j
                                                                j =1
    3.  [pROIZWODNAQ WEKTOR-FUNKCII]. pUSTX WEKTOR-FUNKCIQ x(t) =
(x1(t); : : :; xm(t)) (t  2  R2) DIFFERENCIRUEMA
                                   10(t) 3
                                                  W TO^KE t 2 . tOGDA
                                 x
MATRICA qKOBI DLQ x0(t) = 64 : : : 75 | (1  m)-MATRICA. dIFFERENCI-
                                xm0(t)
AL \TOJ WEKTOR-FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IJ SME]ENI@ dt, RAWEN dx(t) =
(x10(t)dt; : : :; xm0(t)dt).
    4. [fORMULA POLNOJ PROIZWODNOJ]. pUSTX SKALQRNAQ FUNKCIQ g (t) =
f (x1(t); : : :; xn(t)) (t 2  R) | SUPERPOZICIQ FUNKCII f n PEREMEN-
NYH I WEKTOR-FUNKCII x(t) (SO ZNA^ENIQMI W Rn). w PREDPOLOVENII, ^TO
                                          124