Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 155 стр.

WY[E: W KA^ESTWE BAZISA OKRESTNOSTEJ TO^KI f (x) NUVNO WZQTX SISTEMU
F = f(f (x) , "; f (x) + ")g">0.
    4. [nEPRERYWNOSTX SLOVNOJ FUNKCII]. pUSTX f : E ! F | OTOBRA-
VENIE, NEPRERYWNOE W TO^KE x 2 E , A g : F ! G NEPRERYWNO W TO^KE
f (x). tOGDA OTOBRAVENIE g  f : E ! G NEPRERYWNO W x.
  W 2 b(g(f (x))) ) g,1(W ) 2 b(f (x)) ) (g  f ),1 (W ) =
f ,1(g,1 (W )) 2 b(x): >
    5. oTOBRAVENIE f : E ! F NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM, ESLI ONO NEPRE-
RYWNO W KAVDOJ TO^KE x 2 E .
    6. pUSTX (E; T ); (E 0 ; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA I
f : E ! E 0 | OTOBRAVENIE. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
  (A) f NEPRERYWNO,
  (B) POLNYJ PROOBRAZ WSQKOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA IZ E 0 OTKRYT W
       E , TO ESTX f ,1(T 0)  T ,
  (W) POLNYJ PROOBRAZ WSQKOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA IZ E 0 ZAMKNUT
       W E.
  o^EWIDNO, (B) , (W), (B) ) (A). pOKAVEM, ^TO (A) ) (B). pUSTX V 2 T 0.
tOGDA x 2 f ,1 (V ) ) f (x) 2 V ) V 2 b(f (x)) ) f ,1(V ) 2 b(x). iZ
PROIZWOLXNOSTI x f ,1 (V ) 2 T : >
    7. z A M E ^ A N I Q. oBRAZ OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PRI
NEPRERYWNOM OTOBRAVENII MOVET NE BYTX OTKRYTYM (SOOTWETSTWENNO
ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM.
    8. pUSTX (E; T ); (E 0 ; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA I
f : E ! E 0 NEPRERYWNO. eSLI TOPOLOGII Te W E I Te 0 W E 0 TAKOWY,
^TO Te  T ; Te 0  T 0, TO DANNOE OTOBRAVENIE QWLQETSQ NEPRERYWNYM
OTOBRAVENIEM (E; Te ) W (E 0; Te 0). w ^ASTNOSTI, ESLI T DISKRETNA ILI T 0
TRIWIALXNA, TO L@BOE OTOBRAVENIE f : E ! E 0 NEPRERYWNO.
    9. p R I M E R . pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I a 2 M
FIKSIROWANO. tOGDA OTOBRAVENIE x ! d(x; a) (x 2 M ) | NEPRERYWNOE
OTOBRAVENIE M W R.


                                   155