Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 157 стр.

GII NA S I NA ^ASTQH R INDUCIROWANY SOOTWETSTWU@]IMI TOPOLOGIQMI
IZ R2 I R (SM. NIVE 99.2)):
    7. nE SU]ESTWUET NEPRERYWNOGO IN_EKTIWNOGO OTOBRAVENIQ OKRUV-
NOSTI S ( R2) W R.
  pUSTX OTOBRAVENIE  : S ! S PEREWODIT TO^KI S W TO^KI, DIAMETRALX-
NO PROTIWOPOLOVNYE, A OTOBRAVENIE f : S ! R NEPRERYWNO. uTWERVDE-
NIE TEPERX SLEDUET IZ FAKTOW:
    (A) OTOBRAVENIE g  f , f   NEPRERYWNO,
    (B) g   = ,g,
    (W) ESLI f | IN_EKCIQ, TO g(s) =6 0 (s 2 S ) I, SLEDOWATELXNO, W TO^KAH
s I (s) FUNKCIQ g PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW,
    (G) TAK KAK S LINEJNO SWQZNO, IZ (A), (W) I 70.4 SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET
t 2 S TAKOE, ^TO g(t) = 0; ^TO PROTIWORE^IT (W). >
    u P R A V N E N I Q. 8. oTKRYTYJ [AR B1() W Rn GOMEOMORFEN WSEMU
PROSTRANSTWU Rn . fiSKOMYJ GOMEOMORFIZM f : Rn ! B1() MOVET BYTX
ZADAN FORMULOJ f (x) = (1 + kxk),1x (x 2 Rn): >
    9. sLEDU@]IE SWOJSTWA QWLQ@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI: (A) KONE^NOSTX
PROSTRANSTWA, (B) SU]ESTWOWANIE NEPODWIVNOJ TO^KI U KAVDOGO NEPRE-
RYWNOGO OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA W SEBQ.
    10. pOLNOTA METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (92.10) | NE TOPOLOGI^ESKOE
SWOJSTWO (W KLASSE METRI^ESKIH PROSTRANSTW).
    x98. tOPOLOGIQ, POROVDENNAQ SEMEJSTWOM MNOVESTW
    w \TOM I NESKOLXKIH POSLEDU@]IH PARAGRAFAH MY RASSMOTRIM NEKO-
TORYE TIPI^NYE SPOSOBY ZADANIQ TOPOLOGIJ.
    1. pUSTX ZADANO NEKOTOROE SEMEJSTWO  ^ASTEJ MNOVESTWA E I TREBU-
ETSQ ZADATX W E TOPOLOGI@ TAK, ^TOBY WSE MNOVESTWA IZ  BYLI OTKRYTY-
MI. pRI PODOBNOJ POSTANOWKE ZADA^I OTWET TRIWIALEN: NUVNOMU TREBO-
WANI@ UDOWLETWORQET DISKRETNAQ TOPOLOGIQ. mOVNO LI, ODNAKO, UKAZATX
NAIBOLEE \\KONOMNU@" TOPOLOGI@ SREDI TEH, W KOTORYH MNOVESTWA IZ 
OTKRYTY? sDELAEM SNA^ALA POLEZNOE ZAME^ANIE (!!):
    2. pUSTX (Ti )i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGIJ W MNOVESTWE E . tOGDA
T = T T | TOPOLOGIQ W E .
    i2I
          i

                                    157