Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 159 стр.

USLOWI@ BUDET UDOWLETWORQTX DISKRETNAQ TOPOLOGIQ W E . sODERVATELX-
NOJ QWLQETSQ ZADA^A ZADANIQ W E NAIBOLEE \\KONOMNOJ" TOPOLOGII SREDI
WSEH TOPOLOGIJ, DLQ KOTORYH UKAZANNOE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO. rU-
TINNAQ PROWERKA POKAZYWAET, ^TO NAIMENX[EJ (SLABEJ[EJ) IZ WSEH TOPO-
LOGIJ W E , OTNOSITELXNO KOTORYH OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO, QWLQETSQ
TOPOLOGIQ f ,1 (T 0) = ff ,1 (X 0)j X 0 2 T 0g | PROOBRAZ TOPOLOGII T 0 OTNO-
SITELXNO OTOBRAVENIQ f .
   2. p R I M E R. iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ. pUSTX E | TOPOLOGI-
^ESKOE PROSTRANSTWO I X  E . sLABEJ[AQ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W X ,
OTNOSITELXNO KOTORYH NEPRERYWNO TOVDESTWENNOE WLOVENIE iX : X ! E ,
NAZYWAETSQ INDUCIROWANNOJ (IZ E ) TOPOLOGIEJ W X . eSLI T | TOPOLOGIQ
W E , TO INDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ TX W X PREDSTAWLQET SOBOJ SEMEJST-
WO fU \ X j U 2 T g. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X; TX ) NAZYWAETSQ
PODPROSTRANSTWOM PROSTRANSTWA (E; T ).
   3. pUSTX (X; TX ) | PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA (E; T ). wSQKOE
MNOVESTWO A  X , OTKRYTOE (ZAMKNUTOE) W X , OTKRYTO (SOOTWETSTWENNO
ZAMKNUTO) W E TTOGDA X OTKRYTO (SOOTWETSTWENNO ZAMKNUTO) W E .
   4. oPISANNU@ WY[E KONSTRUKCI@ PROOBRAZA TOPOLOGII MOVNO OBOB-
]ITX NA SLU^AJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA OTOBRAVENIJ. pUSTX E | MNO-
VESTWO (BEZ TOPOLOGII) I (Ei ; Ti)i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PRO-
STRANSTW. nAIBOLEE \KONOMNAQ TOPOLOGIQ W E , OTNOSITELXNO KOTOROJ NE-
PRERYWNY FIKSIROWANNYE OTOBRAVENIQ fi : E ! Ei (i 2 I ), HARAKTERIZU-
ETSQ SLEDU@]IM UTWERVDENIEM:
   5. tOPOLOGIQ W E S SISTEMOJ OBRAZU@]IH
                                                     S f ,1 (T ) QWLQETSQ SLA-
                                                         i   i
                                                   i2I
BEJ[EJ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W E , OTNOSITELXNO KOTORYH NEPRERYWNY
WSE OTOBRAVENIQ fi (i 2 I ).
    6. p R I M E R . pROIZWEDENIE TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. pUSTX
(Ei ; Ti )i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW I E = Q Ei. dLQ
                                                             i2I
KAVDOGO INDEKSA j 2 I RASSMOTRIM PROEKTIROWANIE pj : E ! Ej , OPRE-
DELENNOE FORMULOJ pj ((xi)i2I ) = xj . oPREDELIM W E TOPOLOGI@ T KAK
SLABEJ[U@ IZ TOPOLOGIJ, OTNOSITELXNO KOTORYH WSE pj (j 2 I ) NEPRE-
RYWNY. w \TOM SLU^AE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; T ) NAZYWAETSQ
PROIZWEDENIEM TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW (Ei; Ti), A TOPOLOGIQ T |
PROIZWEDENIEM TOPOLOGIJ (Ti)i2I . tOPOLOGIQ T POROVDAETSQ SISTEMOJ
                                     159