Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 164 стр.

   u P R A V N E N I Q. 3. pODPROSTRANSTWO OTDELIMOGO PROSTRANSTWA
OTDELIMO.
   4. eSLI PROIZWEDENIE
                         Q E TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW OTDELIMO, TO
                            i
                        i2I
OTDELIMO KAVDOE PROSTRANSTWO Ei .
   x103. pREDEL OTOBRAVENIQ W TO^KE
   1. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, X  E I a | PRE-
DELXNAQ TO^KA MNOVESTWA X . |LEMENT y 2 F NAZYWAETSQ PREDELOM OTO-
BRAVENIQ f : X ! F W TO^KE a 2 E (PI[UT: y = xlim
                                                !a f (x)), ESLI
                  8U 2 b(y) 9V 2 b(a) (f (V \ X )  U ):
   2. z A M E ^ A N I E. eSLI F OTDELIMOE PROSTRANSTWO, PREDEL OTOBRA-
VENIQ EDINSTWEN, KOLX SKORO ON SU]ESTWUET.
   3. pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE, a 2 E | NE IZOLIROWANNAQ
TO^KA. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
 (A) f NEPRERYWNO W TO^KE a,
 (B) f (a) = xlim
               !a f (x).
 (W) lim
       2A
          x = a ((x )   2A   | SETX W E ) ) lim
                                              2A
                                                 f (x ) = f (a).
  (A) ) (B). pUSTX f NEPRERYWNO W a I U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX
TO^KI f (a). tOGDA NAJDETSQ V 2 b(a) TAKAQ, ^TO f (V )  U . tEM BOLEE
f (V nfag)  U , TO ESTX xlim
                           !a f (x) = f (a).
    (B) ) (W) (!!).
    (W) ) (A). pUSTX, NAPRIMER, f NE NEPRERYWNO W TO^KE a 2 E . tOGDA
9U 2 b(f (a)) 8V 2 b(a) (f (V ) 6 U ). oPREDELIM SETX x : b(a) ! E ,
POLOVIW xv 2 V , PRI^EM f (xv ) 62 U (V 2 b(a)). tOGDA V lim
                                                          2b(a)
                                                                xv = a I W TO
VE WREMQ U NE QWLQETSQ LOWU[KOJ SETI (f (xv ))v2b(a) W F , TO ESTX (W) NE
UDOWLETWORQETSQ. >


                                      164