Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 165 стр.

   x104. pRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI
    1. pUSTX f; g | NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKOGO PRO-
STRANSTWA E W OTDELIMOE PROSTRANSTWO F , SOWPADA@]IE NA NEKOTO-
ROJ PLOTNOJ W E ^ASTI X . tOGDA f = g.
  pUSTX a 2 E I (x ) 2A | SETX W X , SHODQ]AQSQ K a. w SILU 103.3
f (a) = lim
          2A
             f (x ) = lim
                        2A
                           g(x ) = g(a): >
    2. pUSTX TEPERX f | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PLOTNOJ W E ^ASTI X
W OTDELIMOE PROSTRANSTWO F , PRI^EM W KAVDOJ TO^KE a 2 E SU]ESTWUET
                                                         e
          !a f (x). tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE f : E ! F ,
PREDEL xlim
                              (                ESLI a 2 X ,
                      ef (a) = f (a);
                                 lim
                                x!a  f ( x ) ; ESLI a 2 E nX .
bUDET LI fe NEPRERYWNO? oKAZYWAETSQ, OTWET WSEGDA POLOVITELEN, ESLI
F UDOWLETWORQET TREBOWANI@ REGULQRNOSTI.
    3. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI KAVDAQ
EGO TO^KA OBLADAET FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ ZAMKNUTYH OKRESTNOSTEJ.
w ^ASTNOSTI, WSQKOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO.
    4. pUSTX f : X ! F NEPRERYWNO, X ( E ) PLOTNO W TOPOLOGI^ESKOM
PROSTRANSTWE E , A F OTDELIMO I REGULQRNO. pRI \TOM PUSTX xlim           !a f (x)
SU]ESTWUET DLQ WSQKOGO a 2 E . tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO ODNO-
ZNA^NO NEPRERYWNOE PRODOLVENIE f NA E .
  pUSTX U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI fe(a), GDE fe OPREDELE-
NO WY[E. pUSTX DALEE W | ZAMKNUTAQ OKRESTNOSTX TO^KI fe(a) TAKAQ,
^TO W  U . pUSTX V | OTKRYTAQ OKRESTNOSTX TO^KI a TAKAQ, ^TO
f ((V \ X )nfag) W. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x 2 V I L@BOJ
SETI (x ) 2A  X , SHODQ]EJSQ K x: fe(x) = lim         2A
                                                          f (x ) 2 W , = W (SM.
101.6(B)). tAKIM OBRAZOM, fe(V )  W  U: >
    5. z A M E ^ A N I E. w DOKAZANNOM UTWERVDENII NELXZQ, WOOB]E GO-
WORQ, OSLABITX TREBOWANIE REGULQRNOSTI F (MY NE OSTANAWLIWAEMSQ NA
DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA).
    u P R A V N E N I Q. 6. pOSTROITX PRIMER OTOBRAVENIQ f : E ! F ,
GDE F OTDELIMO, TAKOGO, ^TO xlim   !a f (x) SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE a 2 E ,
I W TO VE WREMQ f NE NEPRERYWNO.
                                      165