Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0  ). nO TOGDA SETX (x ) NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ.
dEJSTWITELXNO, ESLI aS| TAKAQ TO^KA I 2 A TAKOWO, ^TO a 2 U , TO
8 (f g   ) x 2 ( 2 U )c), TO ESTX x 62 U .
   dOKAVEM TEPERX DOSTATO^NOSTX ^ASTNOGO UTWERVDENIQ. pUSTX KAV-
DAQ POSLEDOWATELXNOSTX W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E SO 2-J AKSIO-
MOJ S^ETNOSTI OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ. pROWERKA KOMPAKTNOSTI E
PROWODITSQ PO SLEDU@]EJ SHEME:
   (A) IZ PROIZWOLXNOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ (U ) 2B WYDELQEM S^ETNOE
POKRYTIE (U ) 2A (SM. NIVE P. 10);
   (B) DALEE DEJSTWUEM PO SHEME OB]EGO SLU^AQ, RAZOBRANNOGO WY[E: PRED-
POLAGAQ, ^TO E NE KOMPAKTNO, NAHODIM POSLEDOWATELXNOSTX (x ) \LEMEN-
TOW E (A | S^ETNO!), NE OBLADA@]U@ NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ. >
   3. ~ASTX K TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZOW    EM KOMPAKTOM (ILI
KOMPAKTNYM MNOVESTWOM), ESLI K | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO W INDU-
CIROWANNOJ TOPOLOGII.
   4. z A M E ^ A N I E. ~ASTX K TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E QWLQETSQ
KOMPAKTOM TTOGDA WSQKOE OTKRYTOE (W E ) POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE
POKRYTIE.
   5. p R I M E R. w EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH KOMPAKTNYE MNOVESTWA
HARAKTERIZU@TSQ HORO[O IZWESTNYMI USLOWIQMI (SM. 64.2). w ^ASTNOS-
TI, EDINI^NAQ SFERA S = fx 2 Rn : kxk = 1g | KOMPAKT. oDNAKO W
BESKONE^NOMERNYH PROSTRANSTWAH TEOREMA 64.2 UVE MESTA1NE IMEET. pO-
KAVEM, NAPRIMER, ^TO EDINI^NAQ SFERA S = fx 2 `2 : P jxnj2 = 1g W
                                                              n=1
`2 NE KOMPAKTNA (W TOPOLOGII, OPREDELQEMOJ METRIKOJ, SM. 92.8). dEJST-
WITELXNO, ESLI DOPUSTITX, ^TO OTKRYTOE POKRYTIE fB1=2(x)gx2S SFERY
S SODERVIT KONE^NOE POKRYTIE, TO BESKONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW WIDA
en = (0; : : : :; 0; 1; 0; : : :) (1 NA n-OM MESTE) DOLVNO POPASTX W ODIN IZ [A-
ROW WIDA B1=2(x). oDNAKO W \TOT [AR DIAMETRA 1 NEpMOGUT POPASTX DAVE
DWA \LEMENTA UKAZANNOGO WIDA, TAK KAK d(en; em) = 2 > 1 (n 6= m).
    6. w OTDELIMOM PROSTRANSTWE KAVDYJ KOMPAKT ZAMKNUT.
  pUSTX K | KOMPAKT W OTDELIMOM PROSTRANSTWE E I a 62 K . dLQ
KAVDOJ TO^KI x 2 K PUSTX Ux I Vx | OTKRYTYE OKRESTNOSTI TO^EK x I a
SOOTWETSTWENNO I TAKIE, ^TO Ux \ Vx = ;. iZ OTKRYTOGO POKRYTIQ (Ux)x2K

                                      167

Страницы