Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 178 стр.

   x112. mERA NA KLASSE \LEMENTARNYH MNOVESTW
   1. mEROJ (PLO]ADX@) PRQMOUGOLXNIKA  = ha; bi  hc; di NAZYWAETSQ
^ISLO m() = (b , a)(d , c). w ^ASTNOSTI, ESLI  WYROVDEN (TO ESTX a = b
ILI c = d), TO m() = 0: sLEDU@]EE WAVNOE SWOJSTWO MERY NA KLASSE
PRQMOUGOLXNIKOW NAZYWAETSQ ADDITIWNOSTX@:
       eSLI  = P k , TO m() = P m(k).
                     n                     n
      2.
                    k=1                   k=1
  pUSTX 
(a = x0 < x1 < : : : < xn = b); 
0P(c = y0 < : : : < ys = d) |
RAZLOVENIQ OTREZKOW [a; b] I [c; d]. eSLI  = i;j ij , GDE ij = hxi,1; xii 
hyj,1; yj i (i = 1; n; j = 1; s), TO PREDSTAWLENIE  = P
                                                       i;j
                                                            ij NAZOWEM REGULQR-
NYM. nETRUDNO WIDETX, ^TO UTWERVDENIE WERNO DLQ SLU^AQ REGULQRNOGO
PREDSTAWLENIQ:
           m() = (b , a)(d , c) = [ P (xi , xi,1)] [ P (yj , yj,1)]
                                           n              s
                                          i=1           j =1
                    = P(xi , xi,1)(yj , yj,1) = P m(ij ):
                            i;j                                 i;j
oB]IJ SLU^AJ LEGKO SWODITSQ K REGULQRNOMU (!!). >
    3. pRODOLVIM MERU NA KLASS E WSEH \LEMENTARNYH MNOVESTW: DLQ E =
 Pn  POLOVIM m(E ) = Pn m( ).
     i                       i
i=1                   i=1
   uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ. pUSTX E = P 0
                                                                s
                                                                                              j =1 j
| E]E ODNO PREDSTAWLENIE E W WIDE    OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA-
                                    P
                                    n          P
                                               s
@]IHSQ PRQMOUGOLXNIKOW. tOGDA i=1 m(i) = j=1 m(0j ). dEJSTWITELX-
NO, POLAGAQ ij = i \ 0j , ZAMETIM, ^TO SPRAWEDLIWY RAWENSTWA E =
Pn Ps  ;  = Ps  ; 0 = Pn  . pO\TOMU m( ) = Ps m( ); m(0 ) =
       ij i        ij j          ij            i          ij      j
i=1 j =1             j =1                 i=1                             j =1
 Pn   m(ij ), OTKUDA
i=1
           X
           n                X
                            n X
                              s                    X
                                                   s X
                                                     n                ! X
                                                                        s
                 m(i) =               m(ij ) =              m(ij ) =          m(0j ): >
           i=1              i=1 j =1               j =1 i=1               j =1
   iZ DANNOGO OPREDELENIQ SRAZU SLEDUET, ^TO MERA m NA KLASSE E PO-
PREVNEMU OBLADAET SWOJSTWOM ADDITIWNOSTI:
                                                   178