Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 179 стр.

   4. eSLI E; F 2 E I E \ F = ;, TO m(E + F ) = m(E ) + m(F ).
   oTMETIM E]E NESKOLXKO POLEZNYH SWOJSTW MERY (!!):
   5. eSLI E 2 E, TO E ; E , 2 E I m(E ) = m(E  ) = m(E , ).
   6. eSLI E  F (E; F 2 E), TO m(F ) = m(E ) + m(F nE ).
   7. eSLI E; F 2 E, TO m(E [ F )  m(E ) + m(F ).
   8. eSLI  = , A PRQMOUGOLXNIK 1 NE WYROVDEN I  \ 1 6= ;, TO
m( \ 1) > 0.
   x113. sWOJSTWO S^ETNOJ ADDITIWNOSTI
   mERA NA KLASSE PRQMOUGOLXNIKOW OBLADAET SWOJSTWOM SU]ESTWENNO
BOLEE SILXNYM, ^EM SWOJSTWO 112.2. oNO NAZYWAETSQ S^ETNOJ ADDITIW-
NOSTX@ I LEVIT W OSNOWE PRINCIPIALXNO NOWOJ TEORII MERY I INTEG-
RALA, KOTORAQ IZLAGAETSQ NIVE, W RAZDELAH \mERA lEBEGA" I \iNTEGRAL
lEBEGA".
   1. eSLI  =
                P
                1
                    , GDE ;  | PRQMOUGOLXNIKI, TO
                          k             k
                   k=1
                                               X
                                               1
                                   m() =            m(k ):
                                               k=1
  zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNOE n 2 nN. w SILUs 111.5 NAJDUTSQ PRQMOUGOLX-
NIKI 0n+1; : : : ; 0s TAKIE, ^TO  = P k + j=Pn+1 0j , I W SILU ADDITIWNOSTI
I NEOTRICATELXNOSTI MERY m: k=1
  X
  n               X
                  n                 X
                                    s                      X
                                                           n            X
                                                                        s
        m(k)          m(k ) +            m(0j ) = m(        k +            0j ) = m():
  k=1             k=1              j =n+1                 k=1          j =n+1

iZ PROIZWOLXNOSTI n TEPERX POLU^AEM P m(k)  m(). oBRATNOE NE-
                                        1

RAWENSTWO SLEDUET IZ UTWERVDENIQ: k=1
   2. eSLI  
                S  , TO m()  P
                1                  1
                                      m(k ).
                    k
               k=1               k=1
  pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I  | ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLXNIK TAKOJ,
^TO    I m()  m() + "=2. dLQ KAVDOGO k RASSMOTRIM OTKRYTYJ
PRQMOUGOLXNIK fk TAKOJ, ^TO
         k  fk ; m(fk ) < m(k ) + 2,(k+1) 
 " (k = 1; 2; : : :):
                                              179