Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 18 стр.

   2.   pUSTX f : E ! R STROGO WOZRASTAET (TO ESTX x < x0 (x; x0 2
E ) ) f (x) < f (x0)) ILI STROGO UBYWAET (TO ESTX x < x0 ) f (x) >
f (x0)). tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ g : F ! R SU]ESTWUET I STROGO WOZ-
RASTAET (SOOTWETSTWENNO UBYWAET).
  pUSTX, NAPRIMER, f : E ! R STROGO WOZRASTAET, I , | EE GRAFIK. dO-
PUSTIM, ^TO NEKOTORAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ OSI OX , PERESEKAET , BOLEE
^EM W ODNOJ TO^KE: (x1; y); (x2; y) 2 ,; x1 < x2. tOGDA y = f (x1) = f (x2),
^TO PROTIWORE^IT STROGOMU WOZRASTANI@ f . iTAK, OBRATNAQ FUNKCIQ SU-
]ESTWUET; ONA STROGO WOZRASTAET (!!). >
    p R I M E R Y. 3. pUSTX F (x; y) = x2 + y2 , 1 ((x; y) 2 R2); , = f(x; y) j
F (x; y) = 0g. kRIWAQ , NE QWLQETSQ GRAFIKOM NIKAKOJ FUNKCII (rIS. 5).
    4. F (x; y ) = x2 +py2 , 21 (y  0). sOOTWETSTWU@]AQ KRIWAQ OPREDE-
LQET FUNKCI@ y = 1 , x (,1  x  1). oDNAKO OBRATNAQ FUNKCIQ NE
SU]ESTWUET.
     pF (x; y2) = x2 + y2 , 1 (x; y  0). w \TOM SLU^AE OPREDELENA FUNKCIQ
    5.
y = 1 , x (0  x  1), PRI^EM OBRATNAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET I SOWPA-
DAET S ISHODNOJ (, SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO BISSEKTRISY 1-GO I 3-GO
KOORDINATNYH UGLOW (rIS. 6)).
    6. y = tg x (x 6=
                        (2k + 1) ; k 2 Z). oBRATNAQ FUNKCIQ NE SU]ESTWUET
                            2
(GOWORQT O MNOGOZNA^NOJ FUNKCII y = Arctg x).
    7. y = tg x (,  < x <  ). oBRATNAQ FUNKCIQ y = arctg x (x 2 R).
                     2        2
    8. pONQTIE OBRATNOJ FUNKCII MOVET BYTX OPREDELENO DLQ ABSTRAKT-
NYH FUNKCIJ. pUSTX E; G | MNOVESTWA I FUNKCIQ f : E ! G TAKOWA,
^TO 8x; y (x 6= y ) f (x) 6= f (y)). pUSTX F = f (E ). fUNKCIQ g : F ! E ,
OPREDELENNAQ RAWENSTWOM g(f (x)) = x (x 2 E ), NAZYWAETSQ OBRATNOJ K
FUNKCII f . pRI \TOM FUNKCIQ f W SWO@ O^EREDX QWLQETSQ OBRATNOJ K g,
I GOWORQT, ^TO f I g WZAIMNO OBRATNY. iTAK, WZAIMNO OBRATNYE FUNKCII
f : E ! G; g : F ! E (GDE F = f (E )) HARAKTERIZU@TSQ RAWENSTWAMI
                 g(f (x)) = x (x 2 E ); f (g(x)) = x (x 2 F ):

   x5. oPERACII NAD FUNKCIQMI
   1. aRIFMETI^ESKIE OPERACII. pUSTX FUNKCII f : E ! R; g : E ! R
ZADANY NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE E . oPREDELIM NOWYE FUNKCII:
                                      18