Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 193 стр.

   1. pUSTX  = [a; b]  [c; d] | NEWYROVDENNYJ PRQMOUGOLXNIK (W R2) I
f :  ! R INTEGRIRUEMA. tOGDA
      ZZ                Zb 0Zd          1     Zd 0Zb       1
         f (x; y) dxdy = @ f (x; y) dyA dx = @ f (x; y) dxA dy:
                            a    c                            c   a
 pRIWEDENNOE RAWENSTWO TREBUET RAZ_QSNENIQ: IZ INTEGRIRUEMOSTI
                                                          Z d f NA
MNOVESTWE  NE SLEDUET, NAPRIMER, SU]ESTWOWANIQ INTEGRALA c f (x; y) dy
PRI L@BOM x 2 [a; b]. pOLOVIM DLQ OPREDELENNOSTI
                        Zd
               (x) =        f (x; y) dy  D (f (x; 
)); a  x  b;
                        c
GDE D (f (x; 
)) | NIVNIJ INTEGRAL dARBU FUNKCII y ! f (x; y); y 2 [c; d].
|TA WELI^INA OPREDELENA, TAK KAK f OGRANI^ENA W SILU NEWYROVDENNOSTI
 (SM. x118). mOVNO S^ITATX, ^TO (x) | PROIZWOLXNAQ TO^KA      Z b IZ OTREZ-
KA [D(f (x; 
)); D(f (x; 
))]. iTAK, TREBUETSQ DOKAZATX, ^TO a (x) dx =
ZZ
    f (x; y) dxdy. rAZOBXEM KAVDYJ IZ OTREZKOW [a; b]; [c; d] NA N RAWNYH
 
^ASTEJ:
    
x(a = x0 < x1 < : : : < xN = b); 
y (c = y0 < y1 < : : : < yN = d):
pUSTX hN = b N   , a ; kN = d , c . tOGDA
                                N
                                XN                      XN
              S (
N ) = hN kN Mij; S(
N ) = hN kN mij ;
                                 i;j =1                                i;j =1
GDE 
N | SOOTWETSTWU@]EE RAZLOVENIE  I, NAPR.,
            mij = inf ff (x; y)j (x; y) 2 [xi,1; xi]  [yj,1; yj ]g:
pUSTX i 2 [xi,1; xi] | PROIZWOLXNYE TO^KI. tOGDA
                                   X
                                   N                      X
                                                          N
       (i)  D(f (i ; 
))  kN    sup f (i ; y))  kN Mij :
                                          j =1 y2[yj,1; yj ]                    j =1

                                             193