Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 196 стр.

    x124. zAMENA PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE
    dANNU@ TEMU OBY^NO NE UDAETSQ IZLOVITX NA LEKCIQH SO WSEJ NEOB-
HODIMOJ STROGOSTX@, PO\TOMU RQD MOMENTOW W POSLEDU@]EM IZLOVENII
NOSIT \WRISTI^ESKIJ HARAKTER.
    1. iZMENENIE MERY PRI PREOBRAZOWANII KOORDINAT. dLQ PROSTOTY
IZLOVENIQ OGRANI^IMSQ PLOSKIM SLU^AEM. pUSTX NA PLOSKOSTI R2 TO^EK
(u; v) ZADANA J -IZMERIMAQ OTKRYTAQ LINEJNO SWQZNAQ OBLASTX . pUSTX
ZADANO BIEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE  OBLASTI NA OBLASTX 0 PEREMEN-
NYH (x; y) W DRUGOM \KZEMPLQRE R2 : (u; v) = (x(u; v); y(u; v)); (u; v) 2 .
bUDEM S^ITATX, ^TO  | GLADKOE OTOBRAVENIE, TO ESTX  NEPRERYWNO
DIFFERENCIRUEMO I 0(u; v) DOPUSKAET NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA ,.
pUSTX DALEE
                                    @x @x
          J (u; v) = det 0(u; v) = @u @v
                                    @y @y 6= 0; (u; v) 2 :
                                    @u @v
kAK NAJTI VORDANOWU MERU MNOVESTWA 0? rASSMOTRIM MALYJ PRQMO-
UGOLXNIK   S WER[INAMI
  P1 = (u; v); P2 = (u + du; v); P3 = (u + du; v + dv); P4 = (u; v + dv):
pOSLE PREOBRAZOWANIQ  WER[INY  PREOBRAZU@TSQ SOOTWETSTWENNO W
TO^KI
            P10 = (x(u; v); y(u; v)); P20 = (x(u + du; v); y(u + du; v));
            P30 = (x(u + du; v + dv); y(u + du; v + dv));
            P40 = (x(u; v + dv); y(u; v + dv)):
zAMENIM MNOVESTWO () NA PARALLELOGRAMM 0 S WER[INAMI W TO^KAH
                            (x; y); (x + @x
                                         @u du; y + @y du);
                                                    @u
       (x + @u  @x du + @x dv; y + @y du + @y dv); (x + @x dv; y + @y dv);
                         @v         @u     @v             @v       @v
KOORDINATY KOTORYH OTLI^A@TSQ OT KOORDINAT SOOTWETSTWENNO TO^EK
P10 ; P20 ; P30 ; P40 NA WELI^INY WYS[EGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ SO
                                    196