Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   3. p R I M E R. pUSTX | J -IZMERIMOE OTKRYTOE LINEJNO SWQZNOE
MNOVESTWO W PLOSKOSTI R2 S POLQRNYMI KOORDINATAMI (r; ') :  f(r; ')j
r > 0; 0 < ' < 2g. pUSTX PREOBRAZOWANIE x = r cos '; y = r sin '
OPREDELQET BIEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE NA OBLASTX 0 W PLOSKOSTI S
DEKARTOWYMI KOORDINATAMI. tOGDA
             J (r; ') = cos   ' ,r sin '
                          sin ' r cos ' = r > 0; (r; ') 2 :
        ZZ                     ZZ
pO\TOMU f (x; y) dxdy = f (r cos '; r sin ')r drd'. zDESX MOVNO ZAME-
          0
NITX I 0 SOOTWETSTWENNO NA , I 0, (SM. 122.1).
   x125. pLO]ADX POWERHNOSTI
   pUSTX POWERHNOSTX S W R3 OPISYWAETSQ URAWNENIEM
                           z = f (x; y); (x; y) 2 , ;
GDE | J -IZMERIMAQ OTKRYTAQ OBLASTX, A FUNKCIQ f | GLADKAQ NA ,.
pUSTX ( 1; : : : ; n) | RAZLOVENIE I (xi; yi) 2 i | PROIZWOLXNYE
TO^KI. cILINDR S OSNOWANIEM i I OBRAZU@]IMI PARALLELXNYMI OSI
Oz WYREVET NA POWERHNOSTI S ^ASTX Si: PUSTX Li | ^ASTX KASATELXNOJ
PLOSKOSTI K POWERHNOSTI W TO^KE (xi; yi; f (xi; yi)), LEVA]AQ WNUTRI \TOGO
CILINDRA. pO OPREDELENI@ PLO]ADX POWERHNOSTI S RAWNA PREDELU (ESLI
ON SU]ESTWUET)                           X
                               = jlim
                                      j!0 i
                                             m(Li);
GDE m(Li) | PLOSKAQ VORDANOWA MERA MNOVESTWA Li. kOSINUS OSTROGO
UGLA NORMALI ni K S W TO^KE (xi; yi; f (xi; yi)) S OSX@ Oz RAWEN (SM. x79)
                         2                  !2            !23,1=2
                                 @f               @f
          cos(ni; z) = 41 + @x (xi; yi) + @y (xi; yi) 5 :
o^EWIDNO, i ESTX ORTOGONALXNAQ PROEKCIQ Li NA PLOSKOSTX XOY, I SLE-
DOWATELXNO m( i) = m(Li) cos(ni ; z). tAKIM OBRAZOM,
                        "                2            2#1=2
        = jlim     P          @f              @f
                          1 + @x (xi; yi) + @y (xi; yi)         m( i)
                  j!0 i
               Z Z "  @f 2  @f 2#1=2
           =          1 + @x + @y               dxdy:

                                   198

Страницы