Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 21 стр.

eSLI, W ^ASTNOSTI, E OGRANI^ENO SWERHU I SNIZU, TO GOWORQT, ^TO E OGRA-
NI^ENO. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM
  0 (2 E ), ESLI 8 2 E ( 0  ).
     (V) aKSIOMA NEPRERYWNOSTI. eSLI E ( R) NE PUSTO I OGRANI^ENO
SWERHU, TO SREDI MAVORANT MNOVESTWA E SU]ESTWUET NAIMENX[AQ.
     nAIMENX[AQ MAVORANTA OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA E NAZY-
WAETSQ WERHNEJ GRANX@ I OBOZNA^AETSQ ODNIM IZ SLEDU@]IH SIMWOLOW
sup E; sup (supremum | NAIWYS[EE). aNALOGI^NO, NIVNQQ GRANX OGRA-
          2E
NI^ENNOGO SNIZU MNOVESTWA E ESTX NAIBOLX[AQ MINORANTA; OBOZNA^ENIQ:
inf E; inf2E
               (in mum | NAINIZ[EE).
     z A M E ^ A N I Q. 2. gRANI sup E; inf E NE OBQZANY PRINADLEVATX
MNOVESTWU E . nAPRIMER, DLQ E = f j > 0g : inf E = 0 62 E (!!).
     3. mNOVESTWO Q S OBY^NYM OTNO[ENIEM < MEVDU RACIONALXNYMI
^ISLAMI UDOWLETWORQET TREBOWANIQM (I)|(IV), NO NE UDOWLETWORQET TRE-
BOWANI@ (V) (NAPRIMER, SREDI MAVORANT MNOVESTWA fr 2 Q j r2 < 2g NET
NAIMENX[EJ (W Q) (!!)).
     uSTANOWIM POLEZNOE HARAKTERISTI^ESKOE SWOJSTWO WERHNEJ GRANI ^I-
SLOWOGO MNOVESTWA.
     4. pUSTX 0 | MAVORANTA MNOVESTWA E (=     6 ;). sLEDU@]IE USLOWIQ
\KWIWALENTNY:
  (A) 0 = sup E ;
  (B) 8" > 0 9 2 E ( 0 , " < ).
 (A) ) (B). pUSTX 0 = sup E , NO USLOWIE (B) NARU[AETSQ. tOGDA PRI
NEKOTOROM " > 0 ^ISLO 0," QWLQETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA E , MENX[EJ
^EM 0, ^TO NEWOZMOVNO.
     (B) ) (A). pUSTX WYPOLNENO (B) I | MAVORANTA E TAKAQ, ^TO <
  0 . tOGDA PRI " = 0 , USLOWIE (B) NARU[AETSQ, ^TO PROTIWORE^IT
PREDPOLOVENI@. >
     5. iZ NAGLQDNO-GEOMETRI^ESKIH SOOBRAVENIJ MNOVESTWO R DEJSTWI-
TELXNYH ^ISEL NAZYWA@T TAKVE ^ISLOWOJ PRQMOJ. oTMETIM, ^TO NEOB-
HODIMO E]E DOKAZATX NEPROTIWORE^IWOSTX SISTEMY (I)|(V). dLQ \TOGO
                                  21