Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 23 стр.

   4.    mNOVESTWO E ( R) NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI ONO WMESTE S KAV-
DOJ TO^KOJ SODERVIT I NEKOTORU@ OKRESTNOSTX \TOJ TO^KI, TO ESTX 8x 2
E 9U (x) (U (x)  E ). nAPRIMER, R; (a; b); ; | OTKRYTYE MNOVESTWA. mNO-
VESTWO F  R NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI RnF OTKRYTO.
      tO^KA a 2 E NAZYWAETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ MNOVESTWA E , ESLI
SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U (a) TAKAQ, ^TO U (a) \ E = ;. tO^KA a 2 R
NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA E , ESLI 8U (a) (U (a) \ E =     6 ;).
pREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA SAMA MOVET EMU I NE PRINADLEVATX.
      u P R A V N E N I Q. 5. pUSTX E = f1; 1=2; 1=3; : : :g. nAJTI WSE IZOLI-
ROWANNYE TO^KI MNOVESTWA E , WSE EGO PREDELXNYE TO^KI. oTKRYTO ILI
ZAMKNUTO E ?
      6. tO^KA a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E TTOGDA WSQKAQ OKREST-
NOSTX U (a) SODERVIT BESKONE^NOE MNOVESTWO TO^EK IZ E .
      7. pUSTX E 0 | MNOVESTWO WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E . tOGDA
(E )0  E 0.
    0
      8. eSLI E OTKRYTO I ZAMKNUTO ODNOWREMENNO, TO E = ; LIBO E = R.
      sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ DLQ MATEMATI^ESKOGO
ANALIZA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ.
      9. t E O R E M A [k. wEJER[TRASS]. bESKONE^NOE OGRANI^ENNOE MNOVES-
TWO E ( R) OBLADAET PO KRAJNEJ MERE ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ.
       tAK KAK E OGRANI^ENO, TO SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO E 
[,M; M ]. pUSTX F = fx 2 R j MNOVESTWO E \ (,1; x) KONE^NOg. tOG-
DA F =  6 ; (NAPRIMER, f,M g 2 F ) I OGRANI^ENO SWERHU (NAPRIMER, M |
MAVORANTA F ). pO AKSIOME NEPRERYWNOSTI SU]ESTWUET = sup F . pO-
KAVEM, ^TO | ISKOMAQ PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E . pUSTX U ( ) =
(c; d) | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI . nADO LI[X UBEDITXSQ, ^TO
U ( ) \ E = 6 ;. pUSTX, NAPROTIW,
()                       U ( ) \ E = [(c; ) [ ( ; d)] \ E = ;
I 2 (c; ). tAK KAK < = sup F , MNOVESTWO E \ (,1; ) KONE^NO. nO
TOGDA IZ () SLEDUET, ^TO E \ (,1; d) KONE^NO, TO ESTX d  , I ZNA^IT,
   62 (c; d) | PROTIWORE^IE. >


                                     23