Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 25 стр.

predel ~islowoj posledowatelxnosti
    x9. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI
    1. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ),
ESLI DLQ L@BOGO " > 0 NAJDETSQ NATURALXNOE ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSQ-
KOGO n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jxn , aj < ". w \TOM SLU^AE PI[UT
lim xn = a ILI xn ! a I GOWORQT, ^TO (xn) SHODITSQ (ILI STREMITSQ) K a.
    z A M E ^ A N I Q. 2. xn ! a OZNA^AET, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX U (a)
TO^KI a QWLQETSQ \LOWU[KOJ" POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), TO ESTX W U (a)
POPADA@T WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA.
pRIWEDEM ZAPISI RAWENSTWA lim xn = a W KWANTORAH:
                   8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxn , aj < ");
                    8U (a) 9N 2 N 8n > N (xn 2 U (a)):
w ^ASTNOSTI, xn ! 0 OZNA^AET, ^TO 8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj < "), TO
ESTX xn ! 0 TTOGDA jxnj ! 0:
    3. xn ! a TTOGDA xn , a ! 0:
    4. iZMENENIE KONE^NOGO ^ISLA ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI NE WLIQET
NA EE SHODIMOSTX.
    5. pUSTX (xn ) | POSLEDOWATELXNOSTX I n1 < n2 < : : : (nk 2 N). pO-
SLEDOWATELXNOSTX yk  xnk (k 2 N) NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@
POSLEDOWATELXNOSTI (xn).
   6. eSLI (xn ) SHODITSQ, TO L@BAQ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODIT-
SQ K TOMU VE PREDELU.
  pUSTX xn ! a I yk = xnk | PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI
(xn); n1 < n2 < : : :. o^EWIDNO, nk  k. pUSTX DALEE N 2 N TAKOWO, ^TO
jxn , aj < " (n > N ). tOGDA k > N ) nk > N I, SLEDOWATELXNO, jyk , aj =
jxnk , aj < " (k > N ), TO ESTX yk ! a: >
    p R I M E R Y. 7. xn = n1 ! 0 fDLQ L@BOGO " > 0 WYBEREM N > 1="
(TAKOE N SU]ESTWUET PO AKSIOME aRHIMEDA (SM. 6.1)). tOGDA jxnj < " PRI
n > N g.

                                  25