Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 26 стр.

         p         p
   8. lim( n + 1 , n , 1) = 0.
   9. pOSLEDOWATELXNOSTX 0; 1; 0; 1; : : : NE SHODITSQ.
   u P R A V N E N I Q. 10. ~TO ZNA^IT, ^TO (xn) NE SHODITSQ? zAPI[ITE
W KWANTORAH.
   11. oHARAKTERIZOWATX SHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI, U KOTORYH N
W OPREDELENII PREDELA NE ZAWISIT OT ".
   12. eSLI xn ! a I xn  M (n 2 N), TO a  M .
   13. eSLI xn ! a I f : N ! N | BIEKCIQ, TO xf (n) ! a.
                                  p
   14. eSLI xn ! 0 I xn > 0; TO xn ! 0:
   15. eSLI xn ! a I yn = n 1 (x1 + : : : + xn) (n 2 N), TO yn ! a.
   x10. |LEMENTARNYE SWOJSTWA PREDELA
   1.  pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI EDINSTWEN.
    sWOJSTWO \ZAVATOJ" POSLEDOWATELXNOSTI:
    2. eSLI xn ! a; yn ! a; xn  zn  yn (n 2 N), TO zn ! a.
    3. eSLI xn ! a, TO jxn j ! jaj.
   dLQ DOKAZATELXSTWA 1-GO UTWERVDENIQ DOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO DLQ
POSLEDOWATELXNOSTI (xn): xn ! a; xn ! b; a 6= b. pUSTX U (a); U (b) |
NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^EK a I b (SM. 7.3). sOGLASNO P. 2 OBE
ONI OBQZANY BYTX LOWU[KAMI POSLEDOWATELXNOSTI (xn), ^TO NEWOZMOVNO.
    dLQ DOKAZATELXSTWA P. 2 WYBEREM PROIZWOLXNOE " > 0. tOGDA PRI DO-
STATO^NO BOLX[OM N
              a , " < xn < a + "; a , " < yn < a + " (n > N ):
sLEDOWATELXNO a , "  N ) , ^TO I TREBOWA-
LOSX (SM. POD^ERKNUTYJ TEKST). tRETXE UTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKI
jjxnj , jajj  jxn , aj: >
    4.      pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ,
ESLI 9M > 0 8n 2 N (jxnj  M ).
    5. eSLI xn ! 0, A POSLEDOWATELXNOSTX (yn ) OGRANI^ENA, TO xn yn ! 0:
  sLEDUET IZ OCENKI 0  jxnynj  M jxn j I SWOJSTW 2, 3. >
    6. sHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA.

                                  26