Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 221 стр.

   x137. nEKOTORYE SPECIALXNYE FUNKCII
   pRIMENIM POLU^ENNYE REZULXTATY K ANALIZU WAVNYH W PRILOVENIQH
SPECIALXNYH FUNKCIJ, ZADANNYH INTEGRALAMI.
   1. b\TA-FUNKCIQ |JLERA ZADA
                              ETSQ INTEGRALOM
                               Z1
                  B (a; b) =        xa,1(1 , x)b,1 dx (a; b > 0):
                               0
w UKAZANNOJ OBLASTI INTEGRAL SHODITSQ. iNTEGRAL QWLQETSQ SOBSTWENNYM
W OBLASTI f(a; b)j a  1; b  1g. s POMO]X@ FORMULY nX@TONA-lEJBNICA
INTEGRAL MOVET BYTX WY^ISLEN LI[X PRI NEKOTORYH a; b. pO\TOMU FUNK-
CI@ B (a; b) PRIHODITSQ IZU^ATX KAK INTEGRAL (WOOB]E, NESOBSTWENNYJ),
ZAWISQ]IJ OT PARAMETRA. pOKAVEM SNA^ALA, ^TO B (a; b) NEPRERYWNA.
  pREDSTAWIM B (a; b) W WIDE B (a; b) = B0(a; b) + B1(a; b), GDE
               Z 1=2                               Z1
    B0(a; b) =       xa,1(1 , x)b,1 dx; B1(a; b) = xa,1(1 , x)b,1 dx:
                0                                   1=2
kAVDYJ IZ INTEGRALOW B0; B1 IMEET OSOBENNOSTX NE BOLEE ^EM W ODNOJ
TO^KE I DOSTATO^NO USTANOWITX NEPRERYWNOSTX KAVDOGO IZ NIH. uTWERV-
DENIE 136.1 NEPOSREDSTWENNO NE PRIMENIMO, TAK KAK MNOVESTWO PARAMET-
ROW OTKRYTO W R2. pOSKOLXKU NEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE ESTX SWOJ-
STWO LOKALXNOE, MOVNO USTRANITX \TO ZATRUDNENIE. pUSTX a0; b0 > 0 PRO-
IZWOLXNY. pOGRUZIM TO^KU (a0; b0) W NEKOTORYJ ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLX-
NIK 
 = [a1; a2]  [b1; b2] TAK, ^TOBY 0 < a1 < a0 < a2; 0 < b1 < b0 < b2.
pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO FUNKCIQ B0(a; b) NEPRERYWNA      Z 1=2 W TO^KE (a0; b0).
w SILU 136.1 DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO INTEGRAL 0 xa,1(1 , x)b,1 dx
SHODITSQ RAWNOMERNO W 
. pOLAGAQ c = (x;b)2[0max ;1=2][b1;b2 ]
                                                                (1 , x)b,1, IMEEM
xa,1(1 , x)b,1  cxa1,1 (0 < x < 1=2; (a; b) 2 
). pO PRIZNAKU wEJER-
[TRASSA OTS@DA SLEDUET RAWNOMERNAQ SHODIMOSTX. >
    wY^ISLIM @B@a  (a; b) . fORMALXNO DIFFERENCIRUQ POD ZNAKOM INTEGRA-
LA, IMEEM
              @B ( a; b )   Z1
(1)                       = xa,1(1 , x)b,1 ln x dx (a; b > 0):
                 @a          0
pOKAVEM, ^TO DIFFERENCIROWANIE ZAKONNO. dOSTATO^NO UBEDITXSQ (136.2),
^TO INTEGRAL (1) SHODITSQ RAWNOMERNO NA L@BOM OTREZKE [a1; a2]; a1 > 0:
                                         221