Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 241 стр.

OPREDELQET NORMU W X=. oTMETIM, ^TO OTOBRAVENIE k 
 k OPREDELENO
KORREKTNO, TO ESTX k(x)k NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ x IZ
(x). dEJSTWITELXNO, PUSTX z | E]E ODIN \LEMENT MNOVESTWA (x). tOGDA
kx , zk = 0 I SLEDOWATELXNO,
              kxk = kx , z + zk  kx , zk + kzk = kzk;
               kzk = kz , x + xk  kz , xk + kxk = kxk:
oTOBRAVENIE k 
 k UDOWLETWORQET TREBOWANI@ 148.1 (I):
                  k(x)k = 0 ) kxk = 0 ) (x) = ():
sWOJSTWA (II) I (III) TAKVE, O^EWIDNO, WYPOLNQ@TSQ.
   2. pROILL@STRIRUEM IZLOVENNU@ SHEMU NA HARAKTERNOM PRIMERE.
pUSTX | NEWYROVDENNYJ J -IZMERIMYJ KOMPAKT W Rn . eSTESTWENNO RAS-
PROSTRANITX NORMU k 
 k1 (SM. 149.5) S PROSTRANSTWA C ( ) NA WEKTORNOE
PROSTRANSTWO FUNKCIJ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYH PO rIMANU, WOZMOVNO,
W NESOBSTWENNOM SMYSLE. oDNAKO NA \TOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE FUNK-
CIQ k
k1 UVE NE QWLQETSQ NORMOJ. pRIMENQQ PROCEDURU FAKTORIZACII, MY
PRIDEM K NORMIROWANNOMU PROSTRANSTWU (BUDEM OBOZNA^ATX EGO R1( )),
\LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ KLASSY FUNKCIJ, ABSOL@TNO INTEGRIRU-
EMYH PO rIMANU
           Z . pRI \TOM ESLI DWE FUNKCII f I g PRINADLEVAT ODNOMU
KLASSU, TO jf (x) , g(x)j dx = 0. w ^ASTNOSTI, NULEM PROSTRANSTWA R1( )
                                                       Z
QWLQETSQ KLASS WSEH FUNKCIJ  : ! C TAKIH, ^TO j(x)j dx = 0: dO-
PUSKAQ WOLXNOSTX, MY BUDEM GOWORITX OB \LEMENTAH PROSTRANSTWA R1( )
KAK O FUNKCIQH, POMNQ, ^TO NA DELE MY OPERIRUEM S PREDSTAWITELQMI
KLASSOW FUNKCIJ.
   3. bOLEE OB]IM OBRAZOM, PUSTX        | LOKALXNO J -IZMERIMOE PODMNO-
VESTWO Rn I R1( ) | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO FUNKCIJ (TO^NEE,
KLASSOW FUNKCIJ), ABSOL@TNO INTEGRIRUEMYH
                                        Z      PO rIMANU, WOZMOVNO W NE-
SOBSTWENNOM SMYSLE, S NORMOJ kf k1  jf (x)j dx.
   4.u P R A V N E N I E. pUSTX | LOKALXNO J -IZMERIMOE PODMNOVESTWO
Rn I FUNKCIQ  ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA NA
                                     Z        . tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ
\KWIWALENTNY: (i) (x) = 0 P.W., (ii) j(x)j dx = 0.

                                  241